Ableitung Ausfallwahrscheinlichkeit

21.05.2014, 22:25

Ullebayor

Ableitung Ausfallwahrscheinlichkeit

Guten Abend zusammen,

irgendwie steh ich aufm Schlauch bei ner Ableitung für die Ausfallwahrscheinlichkeit.

Die Ausfallwahrscheinlichkeit bei Parallelsystem berechnet sich wie folgt.

$\begin{eqnarray*} F(t)=\prod_{i=1}^n (1-\exp(-t*\lambda_i)) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung mit Summenregel ist ja:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\sum_{i=1}^n (\lambda_i*\exp((-t*\lambda_i))*\prod_{j=1}^n (1-\exp((-t*\lambda_i)) \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt angenommen wird dass n=2 ist und $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2 \end{eqnarray*}$
folgt $\begin{eqnarray*} f(t)= 2*\lambda_1*\exp((-t*\lambda_1)*(1-\exp((-t*\lambda_i))^2 \end{eqnarray*}$

sooo

wenn ich nochmal die Funktion F(t) nehme und auch hier sage n=2 und $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2 \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} F(t)=(1-\exp(-t*\lambda_1))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(t)=1-2*\exp(-t*\lambda_1)+\exp(-2*t*\lambda_1) \end{eqnarray*}$

abgeleitet gibt es:

$\begin{eqnarray*} f(t)=2*\lambda_1*\exp(-t*\lambda_1)-2*\lambda_1*\exp(-2*t*\lambda_1) \end{eqnarray*}$

Eigentlich müsste es ja das gleich sein wie oben

$\begin{eqnarray*} f(t)= 2*\lambda_1*\exp((-t*\lambda_1)*(1-\exp((-t*\lambda_i))^2 \end{eqnarray*}$

was es aber nicht ist..... Könnt ihr mir helfen? Wo liegt mein Denk-, Rechenfehler?

Vielen Dank im voraus

Gruß Ullebayor

22.05.2014, 00:25

Paranoide

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RE: Ableitung Ausfallwahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von Ullebayor

$\begin{eqnarray*} F(t)=\prod_{i=1}^n (1-\exp(-t*\lambda_i)) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung mit Summenregel ist ja:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\sum_{i=1}^n (\lambda_i*\exp((-t*\lambda_i))*\prod_{j=1}^n (1-\exp((-t*\lambda_i)) \end{eqnarray*}$

Bist du sicher, dass das so richtig ist? Bzw. muss ich erstmal fragen: Soll es ganz am Ende tatsächlich $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ oder doch eher $\begin{eqnarray*} \lambda_j \end{eqnarray*}$ heißen? Und ist hinten die Produktformel noch in der Summenformel drin oder ist es Summenformel mal Produktformel?

(also so:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\left ( \sum_{i=1}^n (\lambda_i*\exp((-t*\lambda_i)) \right )* \left ( \prod_{j=1}^n (1-\exp((-t*\lambda_i)) \right ) \end{eqnarray*}$

oder eher so:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\sum_{i=1}^n \left ( (\lambda_i*\exp((-t*\lambda_i))*\prod_{j=1}^n (1-\exp((-t*\lambda_i)) \right ) \end{eqnarray*}$

?)

LG

22.05.2014, 09:06

HAL 9000

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Tatsächlich richtig ist

$\begin{eqnarray*} f(t) = \sum_{i=1}^n \lambda_i\exp(-t\lambda_i) \prod_{\substack{j=1\\j\neq i}}^n (1-\exp(-t\lambda_j)) \qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Wenn man damit Schwierigkeiten hat, kann man auch über den Logarithmus rechnen:

$\begin{eqnarray*} \ln(F(t)) = \sum_{i=1}^n \ln(1-\exp(-t\lambda_i)) \end{eqnarray*}$

mit Ableitung

$\begin{eqnarray*} (\ln(F(t)))' = \frac{F'(t)}{F(t)} = \frac{f(t)}{F(t)} = \sum_{i=1}^n \frac{\lambda_i \exp(-t\lambda_i)}{1-\exp(-t\lambda_i)} \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} f(t) = F(t) \sum_{i=1}^n \frac{\lambda_i \exp(-t\lambda_i)}{1-\exp(-t\lambda_i)} \end{eqnarray*}$ ,

was nur eine andere Form der Darstellung von (*) ist.

22.05.2014, 10:45

Ullebayor

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Hallo,

vielen Dank für die antworten....
also die Ableitung stimmt schon wie ichs geschrieben hab nur beim Produkt muss wie HAL 9000 schon geschrieben hat j nicht gleich i stehen....

Also die Ableitung ist:

$\begin{eqnarray*} f(t) = \sum_{i=1}^n \lambda_i\exp(-t\lambda_i) \prod_{\substack{j=1\\j\neq i}}^n (1-\exp(-t\lambda_j)) \end{eqnarray*}$

Damit hatte ich au keine Probleme die Ableitung zu berechnen. Mein Problem liegt eher daran, dass wenn ich erst was in F(t) einsetze also $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2 \end{eqnarray*}$ und danach ableite komm ich auf was anderes... und zwar wie schon in meinem ersten Beitrag geschrieben.

Ich komme einmal wenn ich die gleiche von oben nehme auf:

$\begin{eqnarray*} f(t)= 2*\lambda_1*\exp((-t*\lambda_1)*(1-\exp((-t*\lambda_i))^2 \end{eqnarray*}$

und andererseits wenn ich erst $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2 \end{eqnarray*}$ in F(t) einsetze und danach ableite auf:

$\begin{eqnarray*} f(t)=2*\lambda_1*\exp(-t*\lambda_1)-2*\lambda_1*\exp(-2*t*\lambda_1) \end{eqnarray*}$

was ja definitiv nicht das gleiche ist....

22.05.2014, 10:50

HAL 9000

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Tja, so ganz hast du die Formel (*) wohl doch noch nicht begriffen: Wenn $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ ist, das Produkt von $\begin{eqnarray*} j=1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} j\neq i \end{eqnarray*}$ läuft, dann enthält das Produkt über j nur noch einen Faktor!!!

Ausführlich im Fall $\begin{eqnarray*} j=2 \end{eqnarray*}$ geschrieben:

$\begin{eqnarray*} f(t) = \lambda_1\exp(-t\lambda_1) (1-\exp(-t\lambda_2)) + \lambda_2\exp(-t\lambda_2) (1-\exp(-t\lambda_1)) \end{eqnarray*}$

bzw. im Sonderfall $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2 \end{eqnarray*}$ dann sogar

$\begin{eqnarray*} f(t) = 2\lambda_1\exp(-t\lambda_1) (1-\exp(-t\lambda_1)) \end{eqnarray*}$ .

22.05.2014, 10:57

Ullebayor

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ah super jetzt hab ichs gecheckt, vielen Dank für deine Hilfe!

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