stetigkeit in metrischen räumen

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21.05.2014, 23:31	smiler_girl	Auf diesen Beitrag antworten »
stetigkeit in metrischen räumen Meine Frage: hey, ich brauch dringend eure hilfe! ich hab zwei metrische räume (x,d1), und (y,d2)gegeben, wobei der erste raum diskret ist! nun soll ich zeigen, dass jede abbildung f: x->y gleichmäßig stetig ist Meine Ideen: wenn x=y ist, ist mir die sache klar, denn dann ist auch d2(f(x),f(y)) kleiner epsilon, doch wie mach ich das, wenn x nicht y ist?
21.05.2014, 23:52	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} d_1(a,b)=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a, b\in X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a\neq b \end{eqnarray}$ . Was ist denn die Definition von gleichmäßiger Stetigkeit?
21.05.2014, 23:58	smiler_girl	Auf diesen Beitrag antworten »
hey, danke dass du mir helfen willst ! also meine definition: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0, \exists \delta >0 : \forall x,y \in X: (d_1(x,y)) < \delta \Rightarrow d_2(f(x),f(y))< \epsilon \end{eqnarray}$ leider weiß ich nicht so recht, wie mir die helfen soll?
22.05.2014, 00:07	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: Sei ein $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ gegeben. Dann suchen wir jetzt ein $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} d_2(f(x),f(y))<\epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y\in X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} d_1(x,y)<\delta \end{eqnarray}$ gilt. Angenommen, $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ . Wie kann man dann das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ wählen, damit obige Aussage auf jeden Fall gilt? Und angenommen, $\begin{eqnarray} x\neq y \end{eqnarray}$ . Wie kann man das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ dann wählen?
22.05.2014, 00:09	smiler_girl	Auf diesen Beitrag antworten »
also delta muss größer 0 sein, wenn x= y ist. wenn x ungleich y ist, muss delta auf jeden fall größer 1 sein
22.05.2014, 00:20	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ größer 1 wählst, dann wäre $\begin{eqnarray} d_1(x,y)<\delta \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y\in X \end{eqnarray}$ . Aber das wollten wir ja gar nicht. Wir suchen ein $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ , sodass gilt: *Falls* $\begin{eqnarray} d_1(x,y)<\delta \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} d_2(f(x),f(y))<\epsilon \end{eqnarray}$ . Falls $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} d_2(f(x), f(y))=... \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d_1(x,y)=... \end{eqnarray}$ (das musst du noch ergänzen) Wie muss man jetzt das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ wählen, damit $\begin{eqnarray} d_2(f(x), f(y))<\epsilon \end{eqnarray}$ ist, falls $\begin{eqnarray} d_1(x,y)<\delta \end{eqnarray}$ ist?
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22.05.2014, 00:26	smiler_girl	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok! also falls x=y, dann ist $\begin{eqnarray} d_2(f(x), f(y))= d_2(f(x),f(x)) \end{eqnarray}$ und damit ist $\begin{eqnarray} d_1(x,y)= 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d_2(f(x), f(x))= 0 \end{eqnarray}$ und somit kleiner epsilon, das ja größer null ist. aber wie ich das delta nun wählen muss, weiß ich leider nicht.... über einen tipp wäre ich echt dankbar!
22.05.2014, 00:29	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war nur der erste Teil. Jetzt müssen wir noch den Fall $\begin{eqnarray} x\neq y \end{eqnarray}$ betrachten. Wie groß ist dann $\begin{eqnarray} d_1(x,y) \end{eqnarray}$ ? Über $\begin{eqnarray} d_2(f(x), f(y)) \end{eqnarray}$ wissen wir in dem Fall nichts. Wie müssen wir jetzt das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ wählen, damit $\begin{eqnarray} d_2(f(x), f(y))<\epsilon \end{eqnarray}$ ist, falls $\begin{eqnarray} d_1(x,y)<\delta \end{eqnarray}$ ist? (Kleiner Tipp: Du kannst das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ auch so wählen, dass $\begin{eqnarray} d_1(x,y)<\delta \end{eqnarray}$ nie erfüllt ist, falls $\begin{eqnarray} x\neq y \end{eqnarray}$ ist.)
22.05.2014, 00:31	smiler_girl	Auf diesen Beitrag antworten »
also $\begin{eqnarray} d_1(x,y) = 1 \end{eqnarray}$ für x ungleich y. wenn wir nun delta z.b. 0,5 wählen, ist die ungleichung nie erfüllt. doch was nützt mir das dann?
22.05.2014, 00:38	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wenn du $\begin{eqnarray} \delta=0,5 \end{eqnarray}$ wählst, dann folgt für alle $\begin{eqnarray} x,y\in X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\neq y \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} d_1(x,y)<\delta \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} d_2(f(x), f(y))<\epsilon \end{eqnarray}$ . Bis jetzt haben wir uns das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von x und y überlegt. Jetzt ist es aber bei der gleichmäßigen Stetigkeit so, dass $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ nur von $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ abhängen darf (aber nicht muss), nicht von x oder y (im Gegensatz zur "normalen" Stetigkeit, wo das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ von der untersuchten Stelle abhängen darf). Wir hatten also: Für $\begin{eqnarray} x\neq y \end{eqnarray}$ wähle $\begin{eqnarray} \delta=0,5 \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ wähle irgendein beliebiges $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ . Welches $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ können wir also nehmen, damit $\begin{eqnarray} d_2(f(x), f(y))<\epsilon \end{eqnarray}$ ist für alle $\begin{eqnarray} x,y\in X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} d_1(x,y)<\delta \end{eqnarray}$ (also egal, ob $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x\neq y \end{eqnarray}$ )?
22.05.2014, 00:40	smiler_girl	Auf diesen Beitrag antworten »
delta = 0,5 vielleicht?
22.05.2014, 00:44	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Es gilt also: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0\ \forall x,y\in X: (\ d_1(x,y)<0,5\Rightarrow d_2(f(x), f(y))<\epsilon\ ) \end{eqnarray}$ Und damit hättest du die gleichmäßige Stetigkeit gezeigt. Alles klar?
22.05.2014, 00:45	smiler_girl	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, es muss ja von epsilon abhängen! also es muss ja zwischen 0 und 1 liegen, dann vllt delta = 1/ (epsilon + 1) ?
22.05.2014, 00:48	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, es muss nicht von $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ abhängen, es darf aber. Und wenn $\begin{eqnarray} \delta=0,5 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ funktioniert, ist es doch wunderbar. Aber wenn du unbedingt wilst, kannst du natürlich auch $\begin{eqnarray} \delta=\frac{1}{1+\epsilon} \end{eqnarray}$ nehmen; wäre aber unnötig kompliziert. Und wie du schon richtig erkannt hast, kannst du sogar jedes $\begin{eqnarray} \delta\in (0,1) \end{eqnarray}$ nehmen.
22.05.2014, 00:49	smiler_girl	Auf diesen Beitrag antworten »
aha, gecheckt! super danke dir ! gute nacht
22.05.2014, 00:53	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn wir schon am Verallgemeinern sind, kann man auch jedes $\begin{eqnarray} \delta\in(0,1] \end{eqnarray}$ nehmen
22.05.2014, 00:55	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, $\begin{eqnarray} \delta=1 \end{eqnarray}$ würde ja auch funktionieren. Ich hatte oben nur $\begin{eqnarray} \delta\in (0,1) \end{eqnarray}$ geschrieben.

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