Ableitung bilden mithilfe Kettenregel

22.05.2014, 19:09

Jachimx

Ableitung bilden mithilfe Kettenregel

Ich muss folgende Aufgabe lösen:

Seien f: IR^3->IR und c: IR->IR^3 gegeben durch

$\begin{eqnarray*} f(\vec{x} ) = cos(x + yz) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{c} (t) = (e^t, t, t^2) \end{eqnarray*}$

Verwenden sie die Kettenregel, um die Ableitung der Funktion h:IR -> IR, $\begin{eqnarray*} h(t)=f\left(\vec{c}(t) \right) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Meine Frage: (e^t, t, t^2) kann man auch als Spaltenvektor schreiben oder? Und ich soll jetzt hier die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} f(\vec{c} (t) ) = cos(\begin{pmatrix} e^t \\ t\\ t^2 \end{pmatrix} + yz) \end{eqnarray*}$

bestimmen. Hab ich das richtig verstanden?

Meine Idee:

Wenn das richtig ist, dann würde ich ganz normal die Kettenregel (Innere Differentation * Äußere) verwenden mit der Substitution: $\begin{eqnarray*} z=\begin{pmatrix} e^t \\ t\\ t^2 \end{pmatrix} + yz \end{eqnarray*}$

Den Spaltenvektor würde ich dann komponentenweise differenzieren. Es folgt als Ergebnis

h(t)=-sin(t)*(t)`

Wenn das richtig ist, dann würde mich noch interessieren wonach ich abzuleiten habe. Ich vermute mal nach t.

22.05.2014, 20:06

matze(2)

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RE: Ableitung bilden mithilfe Kettenregel

Zitat:

Und ich soll jetzt hier die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} f(\vec{c} (t) ) = cos(\begin{pmatrix} e^t \\ t\\ t^2 \end{pmatrix} + yz) \end{eqnarray*}$

bestimmen. Hab ich das richtig verstanden?

Nein.

22.05.2014, 20:16

Jachimx

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Dann wird es vielleicht

vector(x)=(x,y,z)=(e^t,t,t^2) sein ? Das einsetzten für x,y und z und dann partiell differenzieren. So korrekt ?

22.05.2014, 20:53

Jachimx

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Ok, ich denke es wird von mir nur verlangt

f(c(t))=cos(x+yz)=cos(e^t +t +t^2) nach jeder Variable zu differenzieren. Das wollte ich im letzten Post sagen. Stimmt das?

22.05.2014, 20:55

Jachimx

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Gibt ja nur t, deshalb soll diese Funktion nach t differenziert werden.

23.05.2014, 09:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jachimx
Ok, ich denke es wird von mir nur verlangt

f(c(t))=cos(x+yz)=cos(e^t +t +t^2) nach jeder Variable zu differenzieren. Das wollte ich im letzten Post sagen. Stimmt das?

Richtig wäre: $\begin{eqnarray*} f(c(t)) = cos(x+yz) = cos(e^t +t \cdot t^2) \end{eqnarray*}$

Allerdings solltest du mit der Kettenregel differenzieren. Also brauchst du den Gradient von f und die Ableitung von c(t). Und das ganze dann mit der Kettenregel zusammensetzen.

23.05.2014, 09:53

Jachimx

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Kannst du mir bitte nennen wie man dieses Verfahren nennt? Denn unter Kettenregel finde/verstehe ich nur die seit der Schule bekannte Kettenregel. Das rechnen solte kein Problem darstellen, bloß sagt mir dieses Verfahren leider nichts.

Und es sollte tatsächlich f(c(t))=cos(e^t +t *t^2) lauten (Da ist mir wohl ein Tippfehler unterlaufen).

23.05.2014, 09:54

Jachimx

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Ich denke es handelt sich hier um die sogenannnte ,,Mehrdimensionale Kettenregel" ?

23.05.2014, 10:28

klarsoweit

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Ja, wobei sich die bei diesem Beispiel etwas simpler darstellt.

27.05.2014, 15:13

Jachimx

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So, hab es geschafft, Jetzt soll ich den Funktionsterm h(t) explizit angeben und h`(t) bestimmen mit den bekannten regeln der Analysis 1. Das heißt wahrscheinlich diesmal nicht so komplex die Regel anzuwenden, sondern einfach

h(t)=cos(e^t +t *t^2) zu differenzieren mit der Substitution i=e^t +t *t^2 Und dann halt äußere * innere Ableitung ?

28.05.2014, 09:14

klarsoweit

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Genau.

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