Kurvenscharen |
| 22.05.2014, 18:41 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Kurvenscharen ich habe mal ein Aufgabenkomplex zu den Kurvenscharen, und wollte mich mal daran probieren. Gegeben ist die FUnktion : fa (x) 1/2ax³ - 3/2ax+a Es gilt a E R* Und der Graph der Funktion fa heißt Gfa. 1. Es sollen die Nullstellen bestimmt werden, und die Vielfachheiten, sowie die geometrische Bedeutung. Meine Idee: Nst.: x1 = x2= 0 (entfällt, wegen DB) x3= a ungleich 0 ---> 2 einfache Nst. a= 0 -------> nicht definiert Bin mir hierbei aber unsicher, wie ich korrekt die Vielfachheiten angeben soll. Alle Graphen Gfa verhalten sich Punktsymetrisch zum Koordinatenursprung, womit alle Exponenten von x ungerade sind. Es gilt dabei fa(x) -fa (-x). Könnte mir jemand dabei genauer helfen? Es folgen noch weitere Aufgaben dazu, nachdem ich AUfgabe 1 komplett habe. |
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| 22.05.2014, 21:37 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Kurvenscharen Also ich hab da andere Nullstellen raus ... Versuchs nochmal. fa(x) = 0 Zeige bitte Deinen Weg, damit wir Dir sagen können, wo Dein Fehler liegt. LG Mathe-Maus 
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| 22.05.2014, 21:43 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hmm, Polynomdivision kann man hier nicht anwenden oder? Das a ist ja ein Parameter der für eine Zahl steht, aber dann käme ich bei einer ganzzahligen Zahl nicht auf = 0. Ausklammer geht auch nicht, weil der letzte paramter a kein x enthält. Eine andere Möglichkeit fällt mir nicht ein :/ |
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| 22.05.2014, 21:57 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lass Dir die Funktion zeichnen z.B. für a=1 und a=2. Nullstellen berechnen: fa(x)=0 0 = ... Zuerst mal 2 , dann dividiert durch a. (a ist ja bei jedem Term nur ein Vorfaktor.) Zwischenergebnis zum Vergleich: 0 = x³ - 3 x +2 Kommst Du jetzt weiter ? |
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| 22.05.2014, 22:03 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » |
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| 22.05.2014, 22:26 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich weiß nicht warum man einfach zufällige Zahlen wählt und sie dann für a einsetzt. Ja ich kann den rechenschritt nachvollziehen, wenn man für a = 2 einsetzt, aber weiß nicht was du mir damit sagen möchtest. |
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| 22.05.2014, 22:34 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » |
In der Skizze habe ICH zufällige Zahlen eingesetzt, um Dir den Verlauf des Graphen zu zeigen. Du siehst, die Nullstellen sind UNABHÄNGIG von a. (Egal welches a, die Nullstellen sind immer gleich.) 0 = 1/2 * a * x³ - 3/2 * a * x + a Mal 2. 0 = a * x³ - 3 * a * x + 2 * a Dividiert durch a. 0 = x³ - 3x +2 Jetzt erste Nullstelle raten. x = 1 Nun Polynomdivision. (x³ - 3x + 2) : ( x -1 ) = .... |
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| 22.05.2014, 22:42 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » |
In der Skizze ist auch schneiden auch deine 3 Graphen die Abszissenachse bei -2. Kann man dafür auch (x +2) nehmen oder warum ausgerechnet die ( x-1)? |
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| 22.05.2014, 22:47 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die erste Nullstelle raten. Wenn ganzzahlig, so zerlegt man den letzten Term (den ohne x). Bei 2 würde man raten: 1, -1, 2 und -2. WAS du zuerst probierst, bleibt Dir überlassen. Am einfachsten ist eben 1. Selbstverständlich kannst Du auch -2 nehmen. OHNE meine Skizze würdest Du sicher bei 1 anfangen ... 
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| 22.05.2014, 22:52 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, dann bei 0... Bin gerade bei einer Stelle zur Lösung, wo ich nicht richtig weiterweiß: (x³-3x+2) (x-1) = x² -(x³-x²) Darf man einfach -3x +x² rechnen? |
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| 22.05.2014, 23:02 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » |
"Nein, dann bei 0..." Auf die Finger hau ...nein. Denke Dir das so: 2*1 = 2 oder (-1)*(-2) = 2 Das ist KEINE Null dabei ! Das mit der Null nutzt man, wenn x ausgeklammert wird: Ein Produkt wird Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. DAS trifft HIER aber nicht zu ! ------------------ Zu Deiner Rechnung: Passt 
Nun subtrahiere. Du erhälst: x² Anschließend die -3x runterziehen und weiter geht´s . (Du brauchst immer 2 Terme, egal was kommt.Manschmal bleibt auch 0 übrigt, dann ziehst Du eben 2 Terme runter.) |
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| 22.05.2014, 23:09 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mit 0 meinte ich eigentlich,dass ich ohne dieser Hilfe keinen Ansatz hätte 
Kommt die Gleichung x²-3x+2 heraus? |
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| 22.05.2014, 23:19 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein. Ich setze nochmal bei Deinem letzten Schritt auf. (x³-3x+2) (x-1) = x² -(x³-x²) ----------- 0 + x² - 3x Weiter ? Ich empfehle x² + x |
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| 22.05.2014, 23:26 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, danke für den Hinweis. Man nimmt die versteckte 1, vor dem x² und ersetzt diese durch das x. Erhalte damit: x² +x +4 . Ich habe jetzt ein rest von -2 noch übrig. Muss man damit noch etwas machen? |
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| 22.05.2014, 23:33 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » |
@bullop: Welche Klasse bist Du ? Nein, es passt immer noch nicht. (x³-3x+2) (x-1) = x² + x -(x³-x²) ----------- x² - 3x -(x² - 1x) ------------- 0 -2x + 2 Jetzt -2. (x³-3x+2) (x-1) = x² + x -2 -(x³-x²) ----------- x² - 3x -(x² - 1x) ------------- 0 -2x + 2 -(-2x +2) -------- 0 |
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| 22.05.2014, 23:40 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » |
Um das Thema mal rund zu machen. Polynomdivision -> Klasse 10. Solltest Du Abiturient sein, so ist noch etwas mehr Übung notwendig! Geometrische Bedeutung der Nullstellen: Einfache Nullstelle: Schnittpunkt mit der x-Achse. Doppelte Nullstelle (siehe auch Grafik) -> Extremwert. Dreifache Nullstelle -> Sattelpunkt. (Tritt hier nicht auf.) Ist eigentlich eine 5 min-Aufgabe ... --------------- Trotzdem gibt´s noch ein Lob ... Du bist hartnäckig
LG Mathe-Maus
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| 22.05.2014, 23:41 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt sry ist schon spät. Ich bin ersteinmal schlafen. Ich antworte dann morgen wieder. 11 |
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| 22.05.2014, 23:43 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aha Klasse 11. Dann üb´mal noch ein wenig Polynomdivision ... Ist gelegentlich auch in Abiaufgaben gefragt. Gute Nacht 
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| 22.05.2014, 23:47 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja werde ich, obwohl es eigentlich bei uns in der Prüfung nicht direkt gefragt wird. Aber anscheinend indirekt. Hab für x1 = 1 und für x2= -2 raus. |
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| 23.05.2014, 00:12 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jepp. Das sieht gut aus. Erste Nullstelle durch Raten. x = 1 Zwei weitere Nullstelen: x = 1 und x = -2. Also bei x = 1 -> doppelte Nullstelle -> Extremwert bei x = 1 -------------------- Desweiteren wissen wir, a beeinflusst die Nullstellen nicht ! Weil, bei den Nullstellen ist der Faktor a nicht enthalten. (Siehe auch Grafik.) |
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