Satz Infimum

22.05.2014, 20:53

akamanston

Satz Infimum

hi, wie beweise ich den satz vom infimum?

jede nichtleere, nach unten beschränkte menge reeller zahlen besitzt ein infimum in R.

22.05.2014, 20:54

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Versuchs doch mal mit einem Widerspruch smile

22.05.2014, 20:59

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

so nach dem motto, es gibt keinen wert für eine beschränkte niicht leere menge?

eine menge die schon nicht leer ist hat doch irgendwelche werte die man sortieren kann und es somit ein kleinstes gibt hehe.D

22.05.2014, 21:06

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

eine menge die schon nicht leer ist hat doch irgendwelche werte die man sortieren kann und es somit ein kleinstes gibt hehe.D

Das klappt nur dann sicher, wenn für die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |M|< \infty \end{eqnarray*}$ .
Der Fall das $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ endlich ist, können wir ausschließen, der ist wirklich trivial.

Als Gegenbeispiel sei nur $\begin{eqnarray*} M=\left\{ \frac{1}{n} | n\in\mathbb{N}\right\} \end{eqnarray*}$ genannt, da ist nämlich $\begin{eqnarray*} 0=\inf M \notin M \end{eqnarray*}$ smile

Das Minimum einer nach unten beschränkten Menge muss keinesfalls existieren, das Infimum aber schon.

Was ist denn deine Definition von einem Infimum?

22.05.2014, 21:32

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das gegenbeispiel verstehe ich. gibt es noch andere solcher beispiele? das ist echt ausgefuxt!!!
du hast gezeigt dass es ein infimum gibt obwohl die 0 gar nciht zur menge N gehört.

hast du mit dem gegenbeispiel, die behauptung aber für alle gezeigt?

hehe so lange eine menge irgendein "ende" hat zB ein < oder> zeichen hat. dann gibt es ein infimum/supremum. die einschränkung der beschränktheit ist da ja das entscheidende.
dass es kein max oder min geben muss, ist mir klar. das gibtes erst bei <= ...

ps, das beispiel ist voll cool. bringst mich zum schmunzeln Big Laugh

22.05.2014, 21:39

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

hast du mit dem gegenbeispiel, die behauptung aber für alle gezeigt?

Nein, nur gezeigt, das dein Weg so nicht geht smile

Zitat:

gibt es noch andere solcher beispiele?

Klar gibt es die, du kannst dir einige selbst basteln smile

Wie möchtest du deinen Beweis den führen? Widerspruch oder lieber eine Intervallschachtlung? smile

22.05.2014, 21:41

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

achso, die aufgabe ist noch gar nicht fertig mit deinem beispiel-.-
hehe jetzt bin ich wieder am boden der tatsachen.

naja das mit dem widersprch hört sich viel cooler an Big Laugh

22.05.2014, 21:51

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Intervallschachtelung wäre aber vermutlich Grundlegender smile

Kennst du die äquivalente Aussage für das Supremum zufällig schon?

22.05.2014, 21:58

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

ist das nun ein etwas größeres vorhaben, das zu beweisen^^

ja habe ich vor mir, aber ichglaube das hat nichts mit gegenbeweis zu tun sondern sieht eher nach intervallen aus. traurig das ich das nicht mal erkenne Big Laugh

aber da hat man zwei fälle. zwei mengen werden geschnitten und ergeben null oder eben nicht null

22.05.2014, 22:03

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Da meinte ich was anderes.
Womit habt ihr die Vollständigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gezeigt? Das wird für den Beweis auf jeden Fall benötigt.

22.05.2014, 22:12

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

Bemerkungen zur Vollstäandigkeit
Der Satz vom Supremum ist äquivalent zum Schnittaxiom.
Warum?
Auf der einen Seite haben wir den Satz vom Supremum aus
dem Schnittaxiom abgeleitet, auf der anderen Seite ist die
Zahl s im Schnittaxiom das Supremum der Menge A und das
71
In mum der Menge B in einem Schnitt R = A [ B, sodass
man das Schnittaxiom auch aus der Aussage des Satzes vom
Supremum folgern könnte. Anstatt die Vollständigkeit der
reellen Zahlen über das Schnittaxiom zu erklären, hätten wir
als Vollständigkeitsaxiom für R auch ein Supremumsaxiom
nämlich die Aussage des Satzes vom Supremum verwenden
können. In dieser Weise wird die Vollständigkeit der reellen
Zahlen etwa im Analysisbuch von S. Hildebrandt axiomatisch
beschrieben.

in dem zusammenhang steht da mega viel zur vollständigkeit
ist da jetzt für den beweis so eine riesengaudi nötig.

22.05.2014, 22:17

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Der Satz vom Supremum ist äquivalent zum Schnittaxiom.

Darfst du das nutzen?

22.05.2014, 22:19

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

hm, keine ahnung, ich denke schon?

hey ist das denn so kompliziert, am ende machen das unsere leiter wieder in einer zeile oder so...

22.05.2014, 22:22

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

hey ist das denn so kompliziert

Nein, ich weiß nur nicht was ihr machen dürft, und wie du das machen willst.
Wenn du das nutzen darfst: Sei $\begin{eqnarray*} M\subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nach unten beschränkt. Dann definiere $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ als die Menge aller $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist untere Schranke zu $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ; offenbar ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ nach oben beschränkt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sup S \end{eqnarray*}$ existiert.
Was folgt?

EDIT: Bin erstmal raus, melde mich morgen früh.

22.05.2014, 22:36

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh den satz nicht. du schreibst ist nach unten beschränkt, und dann auf einam supremum existiert. nach unten beschränkt istdoch gegenüber vom supremum.

23.05.2014, 07:51

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht wird es durchsichtiger, wenn ich mal an dem Beispiel von $\begin{eqnarray*} M=\left\{ \frac{1}{n} | n\in\mathbb{N}\right\} \end{eqnarray*}$ zeige, was ich meine smile

Du definierst zu diesem $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Menge $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , die alle unteren Schranken von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthält, in diesem Fall ist das offenbar $\begin{eqnarray*} S=\left\{ x\in\mathbb{R}| x\leq 0\right\} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt bestimmen wir das $\begin{eqnarray*} a=\sup S \end{eqnarray*}$ , hier ist $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ , das $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke ist klar nach Konstruktion von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .
Was wissen wir jetzt? Und was ist wenn $\begin{eqnarray*} \inf M \in M \end{eqnarray*}$ ?

23.05.2014, 09:52

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weis jetzt da a=0 gleichzeitig das Maximum ist- mehr nicht.
ist die zweite Frage die Frage nach einem Minimum? falls ja gibt es keins

23.05.2014, 10:23

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber es ist doch $\begin{eqnarray*} a=0=\inf M \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Satz Infimum

Verwandte Themen