Differenzierbarkeit

22.05.2014, 21:08

Moritzx0x

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Differenzierbarkeit

Meine Frage:
Sei n aus N, z.z. f: R->R mit f(x)= x^2*sin(1/x^n) falls x nicht 0
= 0, falls x=0
auf ganz R diffbar, Ableitung bestimmen. Für welche n aus N ist f' beschränkt auf einer Umgebung von 0. skizziere die Funktion und Ableitung für n=1, n=2

Meine Ideen:
Hallo,
die Ableitung der Funktion habe ich raus, nun betrachte ich Betrag von f(x)-f(0)/ x-0 . Aber ich wei leider nicht, wie ich weitermachen soll. Könnt ihr mir helfen?
Gruß
Moritz

22.05.2014, 21:09

bijektion

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Zitat:

die Ableitung der Funktion habe ich raus, nun betrachte ich Betrag von f(x)-f(0)/ x-0

Schreib das doch erstmal ganz aus smile

smile

Was hast du denn als Ableitung für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ?

22.05.2014, 21:13

Moritzx0x

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Also die Ableitung ist ja:
2x*sin(1/x^n)-nx^1-n*cos(1/x^n)

22.05.2014, 21:17

bijektion

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Versuch bitte Latex zu nutzen, und wenn nicht, achte auf die Klammersetzung smile

smile

Du meinst $\begin{eqnarray*} f'(x)=x \cdot (2\cdot sin(\frac{1}{x^n})-\frac{n}{x^n} \cdot cos(\frac{1}{x^n})) \end{eqnarray*}$ ?

22.05.2014, 21:21

Moritzx0x

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Jepp, ich glaube schon. Also (-nx^{-n-1) müsste da stehen, ich weiß nicht ob du das richtig umgeformt hast. Ich weiß jetzt halt nicht, wie ich weitermachen muss?

22.05.2014, 21:25

bijektion

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Das bekommst du, wenn du ausmultiplizierst. Erstmal müssten wir $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ berechnen, also $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dots \end{eqnarray*}$ , wie gehts damit weiter?

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22.05.2014, 21:28

Moritzx0x

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Genau das kann ich nicht unglücklich

unglücklich

22.05.2014, 21:34

bijektion

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Da gibts doch erstmal nichts zu können, es ist doch $\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}<br /> x^2 \cdot \sin \frac{1}{x^n} & x\neq 0 \\<br /> 0 & x=0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$ , setze das einfach mal ein.

22.05.2014, 21:37

Moritzx0x

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Also (f(x^2*sin(1/x^n))-f(0)/( x^2*sin(1/x^n)- 0
So?

22.05.2014, 21:44

bijektion

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Ja, aber $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0} \frac{x^2 \cdot \sin \frac{1}{x^n}}{x}=\lim_{x\to 0} x\cdot \sin \frac{1}{x^n} \end{eqnarray*}$ .
Was ist also der Grenzwert für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ?

22.05.2014, 21:46

Moritzx0x

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Ja, Null. D.h., dass die Funktion diffbar und stetig ist. Und ich muss noch eine Zeichnung dazu anfertigen für n=1 und n=2, wie muss die denn nun aussehen?
Und geht die b) analog?

22.05.2014, 21:49

bijektion

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Zitat:

Ja, Null. D.h., dass die Funktion diffbar und stetig ist

Differenzierbar, aber Stetigkeit musst du noch nachweisen.
Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ :

und $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ :

Zitat:

Für welche n aus N ist f' beschränkt auf einer Umgebung von 0

Das ist b)?

22.05.2014, 21:55

Moritzx0x

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Kann ich die Zeichnung so einfach übernehmen? Ja oder? Wie weise ich denn die Stetigkeit nach?
Ach so, ich merke grad, dass ich die b) gar nicht aufgeschrieben habe.
b) es seien m, n aus N, m>=2. zeigen sie, dass die fkt. f(x)=x^m *sin(1/x^n) auf ganz R diffbar ist und bestimmen sie die Ableitung. Für welche m und n ist f' sogar stetig auf R?

22.05.2014, 21:57

bijektion

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Ja. Du musst $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}f'(x) = f'(0) \end{eqnarray*}$ prüfen.
b) sollte tatsächlich analog gehen.

22.05.2014, 22:01

Moritzx0x

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Ok, also muss ich zeigen:
0=
f'(0)=2*0*sin(1/0^n)-n*0^1-n*cos(1/0^n)= 0-1=-1 oder?
Und für welche n ist denn f' unbeschränkt auf einer Umgebung von 0?

22.05.2014, 22:04

bijektion

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Zitat:

0= f'(0)=2*0*sin(1/0^n)-n*0^1-n*cos(1/0^n)= 0-1=-1 oder?

Was auch immer das bedeuten soll, du musst auf jeden Fall einen Grenzwert bestimmen.

Zitat:

Und für welche n ist denn f' unbeschränkt auf einer Umgebung von 0?

Welcher Teil von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ könnte denn da interessant sein?

22.05.2014, 22:07

Moritzx0x

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Also, ich habe für den Grenzwert -1 raus.
Hmm, welcher Teil interessant sein könnte? Wir müssen ja für x Null einsetzen ,d.h. Der Teil mit dem sin und cos?

22.05.2014, 22:13

bijektion

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Zitat:

Du musst $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}f'(x) = f'(0) \end{eqnarray*}$ prüfen.

Man erkennt schon an den Plots, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Einsetzen musst du gar nichts, nur schauen, wann, also für welche $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f'(x)=x \cdot (2\cdot sin(\frac{1}{x^n})-\frac{n}{x^n} \cdot cos(\frac{1}{x^n})) \end{eqnarray*}$ groß wird in der Nähe von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

22.05.2014, 22:17

Moritzx0x

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Ok, d.h. Die Stetigkeit ist dann auch bewiesen, aber ich weiß nicht für welche n aus N das groß wird.

22.05.2014, 22:23

bijektion

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Woran kann es denn nur liegen?

22.05.2014, 22:24

Moritzx0x

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Keine Ahnung, gibt es keine?

22.05.2014, 22:27

bijektion

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Wenn $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ groß wird, was ist dann mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ los?

EDIT: Bin raus, melde mich morgen früh zurück.

22.05.2014, 22:35

Moritzx0x

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F wird doch dann auch größer oder nicht?
Ok, trotzdem vielen lieben Dank für die sehr hilfreichen Antworten. Ich danke dir!

23.05.2014, 07:52

bijektion

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$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ steigt/fällt stark. Kein Problem.

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