Stetigkeit zeigen

22.05.2014, 23:59

Retrakt

Stetigkeit zeigen

Hi,
ich habe folgende Aufgabe:

Sei X ein Banachraum und es bezeichen $\begin{eqnarray*} C_{b}(\mathbb R ^{d}) \end{eqnarray*}$ den Raum aller stetigen, beschränkten Funktionen $\begin{eqnarray*} x : \mathbb R ^{d} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ausgestattet mit der Supremumsnorm. Für $\begin{eqnarray*} t_{1},...,t_{n} \in \mathbb R ^{d} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{1},...,a_{n} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiere eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:C_{b}(\mathbb R ^{d}) \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch die Vorschrift:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_{k}x(t_{k}) \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, f ist stetig und bestimme die Norm.

Nun, ich glaube meine "Idee" ist ein bischen zu einfach und somit falsch:/:

Um die Stetigkeit zu zeigen, wollte ich $\begin{eqnarray*} \sup_{||x||=1} ||f(x)|| \end{eqnarray*}$ bestimmen.
(Also die Norm von f)
Ich dachte, dafür "konstruiere" ich mir eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R ^{d} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , die an den Stellen Für $\begin{eqnarray*} t_{1},...,t_{n} \in \mathbb R ^{d} \end{eqnarray*}$ den Wert 1 annimt, ansonsten kleiner als 1 und größer als -1 ist. (g hat dann Norm 1). Dann wäre $\begin{eqnarray*} f(g) = a_{1}+...+a_{n} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ (oder?) Das müsste doch dann auch gleichzeitig die Norm von f sein?? verwirrt

Der Grund warum ich an der Richtigkeit zweifle ist erstens erscheint es mir zu simpel und zweitens wird nirgends benutzt, dass X ein Banachraum ist.. verwirrt

Wäre nett, wenn mir noch jemand Tipps geben würde, Danke Wink

23.05.2014, 08:04

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sup_{||x||=1} ||f(x)|| \end{eqnarray*}$

Warum diese Einschränkung?

Du könntest doch ganz naiv vorgehen: Wenn $\begin{eqnarray*} a\in C_b(\mathbb{R}^d) \end{eqnarray*}$ ist, dann hat $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ welche Form?
Anschließend wendest du einfach ein Kriterium für Stetigkeit an, etwa Epsilon-Delta oder das Folgenkriterium, und dann benötigst du auch, das ein Banachraum vorliegt Augenzwinkern

23.05.2014, 11:16

Retrakt

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Zitat:

Original von bijektion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sup_{||x||=1} ||f(x)|| \end{eqnarray*}$

Warum diese Einschränkung?

Nun, da im weiterem Teil der Aufgabe die Norm explizit bestimmt werden soll und nach einem Satz aus der VL ist ||f|| wie oben definert.

Zitat:

Du könntest doch ganz naiv vorgehen: Wenn $\begin{eqnarray*} a\in C_b(\mathbb{R}^d) \end{eqnarray*}$ ist, dann hat $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ welche Form?
Anschließend wendest du einfach ein Kriterium für Stetigkeit an, etwa Epsilon-Delta oder das Folgenkriterium, und dann benötigst du auch, das ein Banachraum vorliegt Augenzwinkern

Das wollte ich "Vermeiden", da wenn ich ||f|| bestimmt habe (und diese endlich ist), folgt auf aus einem Satz aus der VL, dass für einen linearen Operator dies äquivalent zur Stetigkeit ist.

Was mir aber absolut nicht einleuchtet ist folgendes: Es wird erwähnt, dass X ein Banachraum ist, aber im weiteren Verlauf ist doch nirgends mehr die Rede von X, ich finde kein einziges "Element" was im Zusammenhang mit X steht verwirrt

Oder bin ich jetzt total blöd verwirrt

Übrigens, vielen Dank für deine Antwort Wink

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