Wert einer Reihe berechnen

23.05.2014, 00:26

dorne

Wert einer Reihe berechnen

Meine Frage:
Hey Leute, kann mir jemand bei dieser Reihe behilflich sein? Ich muss deren Wert berechnen, habe aber keine Ahnung wie! unglücklich

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \left(\left(\frac{1}{5} \right)^{k}+ e^{- k}\right) <br /> \end{eqnarray*}$

Lieben Gruß, Hannes

Meine Ideen:
(1/5)^k könnte man wie eine geometrische Reihe behandeln. Dazu müsste man noch den Startindex auf 0 bringen, wobei ich schonwieder überfragt bin -.- auch weiß ich nicht wie ich e^-k behandeln soll... bitte helft mir

23.05.2014, 01:10

Gast11022013

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Den Startindex kannst du leicht anpassen. Um was unterscheiden sich denn die Reihen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \left(\left(\frac{1}{5} \right)^{k}+ e^{- k}\right) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\left(\frac{1}{5} \right)^{k}+ e^{- k}\right) \end{eqnarray*}$

?

Na, doch um die beiden Summanden die du bei der zweiten extra hinzufügst.
Und wie beheben wir dieses Problem? ..... Richtig.

Ansonsten sollte dir $\begin{eqnarray*} e^{-k}=\frac{1}{e^k}=\left(\frac{1}{e}\right)^k \end{eqnarray*}$

helfen.

23.05.2014, 07:58

dornenfeld

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Dann beträgt also der Wert der Reihe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\left(\frac{1}{5}\right) } + \frac{1}{1-\left(\frac{1}{e^{1} }\right) }- 2- \frac{1}{5} - \frac{1}{e^{1} } = - \frac{19}{20} + \frac{1}{1-\left(\frac{1}{e^{1} }\right) }- \frac{1}{e^{1} } \end{eqnarray*}$

richtig?? Freude

23.05.2014, 08:10

HAL 9000

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Richtig, allerdings ist die Darstellung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{20} + \frac{1}{e(e-1)} \end{eqnarray*}$

vielleicht eine Spur gefälliger. Augenzwinkern

Ergibt sich übrigens auch direkt aus

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} \left( \frac{1}{a} \right)^k = \frac{1}{a^2} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{a} \right)^k = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{a}} = \frac{1}{a(a-1)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} |a|>1 \end{eqnarray*}$ .

23.05.2014, 09:40

dornenfeld

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super danke! Und wie nennt sich diese Umformung des Startindex? Bzw. gibts da noch mehr für verschiedene k=x?

23.05.2014, 10:36

Steffen Bühler

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An dornenfeld: Willkommen im Matheboard!

Du hast Dich (wahrscheinlich versehentlich) zweimal hier angemeldet. Dein zweites Konto dorne wird daher demnächst gelöscht.

Viele Grüße und weiterhin viel Spaß
Steffen

23.05.2014, 10:37

Gast11022013

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Allgemein schimpft sich das einfach Indexverschiebung (oder "index shift").
Wobei man da wohl auch zwei Fälle unterscheiden kann, denn eine "klassische" Indexverschiebung läuft eher so ab, dass man später nicht noch irgendwas korrigieren muss und die Veränderung nur im Summenterm selbst liegt. Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Wobei das Beispiel jetzt nicht sonderlich gut gewählt ist. Normalerweise hilft eine Indexverschiebung nun mal dabei die Summe besser handhaben zu können, was hier jetzt nicht unbedingt der Fall ist.

In deinem Fall haben wir so gesehen den Index verschoben ohne den Summenterm zu verändern und danach den entstandenen Fehler korrigiert.

Zitat:

Bzw. gibts da noch mehr für verschiedene k=x

Ich weiß nicht genau was du damit meinst.

23.05.2014, 11:36

dornenfeld

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RE: Wert einer Reihe berechnen
Naja Hal 9000 hat ja diese Umformung genutzt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} \left( \frac{1}{a} \right)^k = \frac{1}{a^2} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{a} \right)^k = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{a}} = \frac{1}{a(a-1)} \end{eqnarray*}$

Aber was wenn der Startindex z.B. 3 beträgt? Geht das dann einfach so:?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=3}^{\infty} \left( \frac{1}{a} \right)^k = \frac{1}{a^3} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{a} \right)^k \end{eqnarray*}$

Und deine Indexverschiebung versteh ich auch nicht so ganz. Müsste es nicht eher so sein:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k}-1=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

23.05.2014, 11:50

Gurki

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RE: Wert einer Reihe berechnen

Zitat:

Original von dornenfeld
Geht das dann einfach so:?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=3}^{\infty} \left( \frac{1}{a} \right)^k = \frac{1}{a^3} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{a} \right)^k \end{eqnarray*}$

Ja!

Zitat:

Original von dornenfeld
Und deine Indexverschiebung versteh ich auch nicht so ganz. Müsste es nicht eher so sein:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k}-1=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Nein!

Es ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac 1{k+1}=\sum_{k=1}^n \frac 1k=\left(\sum_{k=2}^n \frac 1k\right)+1 \end{eqnarray*}$

23.05.2014, 22:18

dornenfeld

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Hmmm... Ich versteh den Umformungsschritt noch nicht so wirklich...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac 1{k+1}=\sum_{k=1}^n \frac 1k \end{eqnarray*}$

23.05.2014, 22:30

Gast11022013

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Setze doch einfach mal ein paar Werte ein um vielleicht ein Verständnis davon zu bekommen was da passiert.

Bei der ersten Summe fangen wir mit k=0 an. Der erste Summand ist also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0+1}=\frac11 \end{eqnarray*}$

Würden wir jetzt den Index einfach auf die 1 verschieben ohne den k-Wert zu verändern, dann hätten wir für den ersten Summanden einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+1}=\frac12 \end{eqnarray*}$

Nochmal: Hier haben wir den Indexverschoben ohne den k-Wert anzupassen. Dies wäre nun aber falsch, weil der erste Summand ja dennoch 1 sein muss und nicht 1/2

Die zweite Summe ist der ersten "einen Summanden voraus". Dies gilt es zu beheben. Und wie machen wir das?
Naja, eben dadurch, dass wir den Nenner um eins verringern. Dann passt es wieder.

23.05.2014, 23:57

dornenfeld

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Ahh okay ich glaub ich hab meinen Denkfehler entdeckt. Hab das sonst immer gleichzeitg mit der Wert-bestimmung gemacht, da scheint das etwas anders zu sein als wenn man den Startindex erstmal in den Reihen an sich verschiebt. Okay danke euch! smile

24.05.2014, 00:02

Gast11022013

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Ich kann deinem Denkfehler zwar nicht so ganz folgen, aber wenn du der Meinung bist, dass es dir nun klar ist, dann ist ja alles gut. Ansonsten frag ruhig noch mal.

Im Grunde ist es immer das selbe:

Wenn du den Index "nach unten" verschiebst, also zum Beispiel von k=3 auf k=0, dann musst du in jedem k-Wert der in der Summe vorkommt +3 addieren.

Wenn du jedoch den Index "nach oben" verschiebst, also nun mal von k=0 auf k=3 (warum auch immer) müsstest du von jedem k-Wert -3 subtrahieren.

Du machst in der Reihe also das "gegenteil" von dem was du mit dem Startindex machst, wenn du verstehst wie ich das meine.

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