Minimale Oberfläche für einen Behälter

23.05.2014, 16:28

Prof

Minimale Oberfläche für einen Behälter

Meine Frage:
Hallo, fleißige Helferlein. ^^

Ein oben offener Behälter hat die Form eines Zylinders mit unten eingefügter Halbkugel. Zur Erhöhung der Stabilität ist diese Halbkugel in das Innere des Behälters gewölbt. Berechnen Sie die Abmessungen des Behältersm wenn das Material zur Herstellung der Oberfläche minimal werden und der Behälter 200 Liter fassen soll.

Meine Ideen:
1. Hauptbedingung aufstellen: $\begin{eqnarray*} O = 2rh\pi + 2r^2+\pi \end{eqnarray*}$

2. Nebenbedingung aufstellen: $\begin{eqnarray*} V = 200 =r^2h\pi + \frac{2r^3\pi}{3} \end{eqnarray*}$

3. Nebenbedingung nach h umstellen: $\begin{eqnarray*} h = \frac{600}{3r^2\pi} - \frac{2r}{3r^2\pi} \end{eqnarray*}$

4. Nebenbedingung im Hauptbedingung einsetzen:
$\begin{eqnarray*} O(r) = 2r\pi*\frac{600}{3r^2\pi} - \frac{2r}{3r^2\pi} + 2r^2+\pi = \frac{1200r\pi}{3r^2\pi} - \frac{2r}{3r^2\pi} + 2r^2+\pi = \frac{400}{r}-\frac{4}{3}+2r^2\pi \end{eqnarray*}$

5. Hauptbedingung nach r ableiten:
$\begin{eqnarray*} O'(r) = -\frac{400}{r^2} + 4r\pi = -\frac{400}{r^2} + \frac{4r^3\pi}{r^2} \end{eqnarray*}$

6. Ableitung Null setzen, nach x umstellen
$\begin{eqnarray*} O'(r) = 0 <=> -400 + 4r^3\pi = 0 x = 3,16920 \end{eqnarray*}$

Nun, irgendwo ist der Wurm drin.

23.05.2014, 16:36

Bürgi

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RE: Minimale Oberfläche für einen Behälter
Hallo,

Zitat:

Zur Erhöhung der Stabilität ist diese Halbkugel in das Innere des Behälters gewölbt.

$\begin{eqnarray*} V = 200 =r^2h\pi \color{red}+\color{black} \frac{2r^3\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Der Wurm ist rot.

23.05.2014, 16:37

riwe

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RE: Minimale Oberfläche für einen Behälter
nach innen gewölbt, daher solltest du vermutlich das Halbkugelvolumen SUBTRAHIEREN

23.05.2014, 16:38

sulo

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RE: Minimale Oberfläche für einen Behälter

Zitat:

$\begin{eqnarray*} O = 2rh\pi + 2r^2+\pi \end{eqnarray*}$

Kannst du mir das $\begin{eqnarray*} 2r^2+\pi \end{eqnarray*}$ erklären?

smile

23.05.2014, 16:42

Prof

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RE: Minimale Oberfläche für einen Behälter
@sulo: Soll natürlich ein * sein.
@riwe, Bürgi: Macht eigentlich Sinn, weil dort die Flüßigkeit ja verdrängt wird.

Danke an euch drei.

23.05.2014, 16:47

sulo

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RE: Minimale Oberfläche für einen Behälter
Allerdings scheinen auch in der weiteren Rechnung Fehler zu sein.
Schon die Umstellung nach h ist nicht richtig - von dem falschen Rechenzeichen mal abgesehen.

smile

23.05.2014, 16:59

Prof

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RE: Minimale Oberfläche für einen Behälter
Wo war da ein Fehler beim Umstellen?

$\begin{eqnarray*} V = 200 =r^2h\pi + \frac{2r^3\pi}{3} 200 - \frac{2r^3\pi}{3} =r^2h\pi \frac{200}{r^2\pi} - \frac{2r^3\pi}{3r^2\pi} = h \frac{600}{3r^2\pi} - \frac{2r^3\pi}{3r^2\pi} = h \end{eqnarray*}$

23.05.2014, 17:04

sulo

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RE: Minimale Oberfläche für einen Behälter
Jetzt stimmt es (bis auf das immer noch falsche Rechenzeichen), obwohl ich noch reichlich kürzen würde.

Weiter oben stand aber Folgendes, und das war nicht richtig:

Zitat:

Original von Prof
3. Nebenbedingung nach h umstellen: $\begin{eqnarray*} h = \frac{600}{3r^2\pi} - \frac{2r}{3r^2\pi} \end{eqnarray*}$

23.05.2014, 17:08

Prof

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RE: Minimale Oberfläche für einen Behälter
Immer diese Flüchtigkeitsfehler, was. Die Hauptbedingung scheint richtig zu sein. Um Flüchtigkeitsfehler und dergleichen werde ich mich selbst kümmern. Peace. smile

23.05.2014, 17:12

sulo

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RE: Minimale Oberfläche für einen Behälter
Du kannst deine Ergebnisse gerne hier für eine Rückmeldung aufschreiben.

Ebenfalls peace. smile

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