0.9 Quantil zu Dichtefunktion

23.05.2014, 16:53

Helmi121

0.9 Quantil zu Dichtefunktion

Meine Frage:
Gegeben ist eine Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion:

f(x) = x , wenn 0 <= x <= 1,
0.5, wenn 2 <= x <= 3,
0, sonst

Gesucht ist das 0.90-Quantil zu X.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f(x) \, dx + \int_2^X \! f(x) \, dx = 0,9 \end{eqnarray*}$

Ist mein Ansatz.Habe mir überlegt, dass das 0.9-Quantil im Bereich zwischen 2 und 3 liegen muss, also das erste Integral ausrechnen und alles dann nach X auflösen. Ergibt bei mir 2,8.
Ist der Ansatz/das Ergebnis so richtig? Und wie sieht die allgemeine Herangehensweise bei einer solchen Aufgabenstellung aus?

23.05.2014, 17:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis ist richtig.

Die allgemeine Herangehensweise wäre, aus der Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die komplette Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t = \begin{cases} 0 &\;\mbox{für}\; x\leq 0 \\[2ex] \frac{x^2}{2} &\;\mbox{für}\; 0\leq x\leq 1 \\[2ex] \frac{1}{2} &\;\mbox{für}\; 1\leq x\leq 2 \\[2ex] \frac{x-1}{2} &\;\mbox{für}\; 2\leq x\leq 3 \\[2ex] 1 &\;\mbox{für}\; x\geq 3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

und dann die Stelle(n) rauszusuchen, für die $\begin{eqnarray*} F(x)=0.9 \end{eqnarray*}$ gilt.

Hier noch ein Link, wie man so eine Verteilungsfunktionberechnung bei stückweise gegebener Dichte technisch bewältigt:

Dichte -> Verteilungsfunktion

23.05.2014, 18:14

Helmi121

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mir es durchgelesen und ich glaube ich brauche eine Erklärung für Idioten :/ .

23.05.2014, 18:26

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht von mir. Ich bin nämlich der verknöcherten, intoleranten Auffassung, dass Uni-Stochastik nichts für Idioten ist.

Ich kann dir zumindest eine noch ausführlichere Beispielrechnung zeigen: Dichtefunktion

23.05.2014, 20:28

Helmi121

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist alles schön und gut, aber da ist nirgends eine Lücke in der Funktion. Aber gut, dann kannst du mir ja zumindest sagen, ob meine eigene Erklärung (Achtung nicht mathematisch formuliert) so stimmt:

Wir wollen einen Berg besteigen und kommen von ganz weit weg am Fuß des Berges an:

$\begin{eqnarray*} \int_\infty^0 \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Wir nähern uns also dem Berg quasi aus $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (Startpunkt des Aufstiegs). Bis dahin gibt es keine Steigung, also haben wir keine Höhenmeter zurückgelegt, somit ist $\begin{eqnarray*} F(0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt beginnt der Aufstieg zur Hütte: $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Die Höhenmeter, die wir bis dorthin zurückolegen beinhalten, alle davor gegangenen = F(0) + die, die wir nun gehen:

$\begin{eqnarray*} F(0) + \int_0^1 \! f(x) \, dx = 0 +\int_0^1 \! f(x) \, dx = \left[x^2*1/2\right]_{0}^{1} = 1/2 - 0 = 1/2 \end{eqnarray*}$

Nach der Hütte gibt es keine Höhenmeter, weil der Weg "flach" verläuft, also genauer gesagt es keine Angaben bis zum Einstieg in die Wand gibt: $\begin{eqnarray*} 1 \leq x \leq 2 \end{eqnarray*}$ . Also ist es gerade $\begin{eqnarray*} F(1) + 0 = 1/2 + 0 = 1/2 \end{eqnarray*}$ . Wir sind ja schon 0,5 Höhenmeter zur Hütte rauf.

Zu Abschluss kommt die Kletterei in der Wand: $\begin{eqnarray*} 2 \leq x \leq 3 \end{eqnarray*}$ . Wir verfahren, wie oben:

$\begin{eqnarray*} F(2) + \int_2^3 \! f(x) \, dx = 1/2 + \int_2^3 \! f(x) \, dx = \left[0,5*x\right]_{2}^{x} = 1/2 + 0,5*x - 0,5*2 = 1/2 - 1 + 0,5*x \end{eqnarray*}$

Wir wollen den Berg nur zu 90% rauf, also:

$\begin{eqnarray*} 1/2 - 1 + 0,5*x = 0,9 <br /> 0,5*x = 1,4 <br /> x = 2,8 \end{eqnarray*}$

23.05.2014, 20:49

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Helmi121
Ist alles schön und gut, aber da ist nirgends eine Lücke in der Funktion.

Wo ist denn bei dir eine "Lücke"? Auch im Intervall [1,2] ist keine Lücke, da ist die Dichte gemäß obiger Angabe gleich Null ("sonst 0").

Der Rest ist soweit Ok.

23.05.2014, 20:59

Helmi121

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Helmi121
Ist alles schön und gut, aber da ist nirgends eine Lücke in der Funktion.

Wo ist denn bei dir eine "Lücke"? Auch im Intervall [1,2] ist keine Lücke, da ist die Dichte gemäß obiger Angabe gleich Null ("sonst 0").

Der Rest ist soweit Ok.

AH, OK das war das, was mich einfach verwirrt hatte.
Gut, vielen Dank!

Neue Frage »

Antworten »

0.9 Quantil zu Dichtefunktion

Verwandte Themen