Abstand Punkt von Ebene (Schnittgeraden gegeben)

23.05.2014, 21:48	Julianpe	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Punkt von Ebene (Schnittgeraden gegeben) Meine Frage: Hallo zusammen, gegeben ist folgende Aufgabe: Welchen Abstand hat der Punkt P (2;-3;-1) von einer Ebene, deren Schnittgerade mit der x,y-Ebene 2x+3y=6 und mit der x,z-Ebene x+2z=3 ist? Meine Ideen: Meine Problematik hängt jetzt einzig und alleine mit dem Erstellen dieser Ebene zusammen. Wie erhalte ich aus zwei Schnittgeraden mit den Koordinatenachsen eine entsprechende Ebene? Mir fehlt leider vollkommen ein roter Faden.
23.05.2014, 21:57	Incognita	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Du kannst die Achsenschnittpunkte ermitteln. Hilft dir das schon ausreichend weiter?
23.05.2014, 22:15	Julianpe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Incognita, danke für Deine Antwort. Ich habe mit den Achsenabschnittspunkte folgende Werte erhalten: Aus Gleichung 1: Px (3/0/0) Py (0/2/0) Aus Gleichung 2: Px (3/0/0) Pz (0/0/1,5) Aus der Lösung der Aufgabe habe ich entnommen, dass die Ebenengleichung 2x+3y+4z-6=0 lautet. Jedoch weiß ich nicht wie ich von den Achsenabschnitten darauf komme?
23.05.2014, 22:23	Incognita	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig Kennst du die Achsenabschnittsform $\begin{eqnarray} \frac{x}{A}+\frac{y}{B}+\frac{z}{C}=1 \end{eqnarray}$ ? Falls nicht, gibt es die etwas umständliche Möglichkeit, über die Parameterform zu gehen. Etwas eleganter (und da benötigt man nicht einmal die Achsenschnittpunkte): schau dir mal an, was geschieht, wenn du die zweite Schnittgerade mit 2 erweiterst . Vergleiche mit der ersten Schnittgerade ...
23.05.2014, 22:37	Julianpe	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Achsenabschnittsform habe ich schon mal gelesen. Und habe es nun wie folgt übernommen. $\begin{eqnarray} \frac{X}{3} + \frac{Y}{2} + \frac{Z}{1,5} = 1 \end{eqnarray}$ Mir fehlt leider der weitere Ansatz um damit brauchbare Ergebnisse zu erzielen Dein anderer Tipp brachte mich zu folgendem LGS: $\begin{eqnarray} <br /> 2x + 3y = 6 \| +<br /> 2x + 4z = 6 \| -<br /> ----------------------<br /> 3y-4z = 0 <br /> \end{eqnarray}$ Ich sehe ja die richtigen Zahlen, weiß nur nicht wie ich dann offiziell weiter machen darf. Besten Dank schon mal für Deine Hilfe
23.05.2014, 22:44	Julianpe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich habe es jetzt. Aus meiner aufgestellten Abschnittsform kann ich entnehmen, nachdem ich den Term mit drei multipliziert habe $\begin{eqnarray} x+\frac{3}{2}y+2z=3 \end{eqnarray}$ Anschließend mit zwei Multiplizieren und voila: Das Ergebnis von 2x+3y+4z-6=0 ist korrekt. Vielen Dank für deine konstruktive Hilfe //Edit: Den Lösungsweg mittels LGS hätte ich gerne mal gesehen, ob dieser einfach ist als über das Aufstellen der Abschnittsform
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23.05.2014, 22:46	Incognita	Auf diesen Beitrag antworten »
Als LGS kann man das so nicht behandeln, aber das geht vielleicht zu tief (zu "trickreich"). Verfolgen wir besser den Weg mit der Achsenabschnittsform. Multipliziere mit einer geeigneten Zahl, so dass die Nenner verschwinden. EDIT: Du hast es schon gesehen. Ich denke, du kommst jetzt allein weiter, oder? Noch ein Edit: Es ist nicht wirklich ein LGS. Für eine Ebene hätte man die Form 2x +3y + az = 6; a gesucht. Durch Vergleich (nicht Addition!) ergibt sich: $\begin{eqnarray} \begin{matrix} 2x & +&3y & +&az & =&6\\ 2x& & & +&4z&=&6 \\ \hline 2x & +&3y & +&4z & =&6 \end{matrix} \end{eqnarray}$
23.05.2014, 23:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativer Lösungsweg: Die beiden Geraden müssen einander auf der x-Achse schneiden, ansonsten spannen sie keine Ebene auf (!) Der Schnittpunkt auf der x-Achse ist (3; 0; 0). Aus den beiden Geradengleichungen ermitteln wie die beiden Richtungsvektoren (3; -2; 0) und (2; 0; -1) Somit lautet die Ebenengleichung: *X = (3; 0; 0) + r(3; -2; 0) + s(2; 0; -1)* mY+

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