Fakultäten kürzen

24.05.2014, 10:22

Zorro der Blitz

Fakultäten kürzen

Hiii, ich muss die Fakultäten in dem Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{n!n!} \end{eqnarray*}$ kürzen. Mir fehlt allerdings der Ansatz wie ich da was kürzen soll. Ich habe es schon etwas umschrieben und zwar mit $\begin{eqnarray*} n!=n(n-1)! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{n!n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{(2n-1)(2n-2)!}{(n-1)!(n-1)!} \end{eqnarray*}$

Das bringt mich allerdings alles nicht weiter. Hat jemand einen Einfall?

24.05.2014, 10:33

HAL 9000

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Das kommt drauf an, was dein Fernziel ist. Man kann ziemlich viel kürzen

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{n!^2} = \frac{\displaystyle \prod\limits_{k=1}^{2n} k}{n!^2} = \frac{\displaystyle \prod\limits_{k=1}^{n} k \cdot \prod\limits_{k=n+1}^{2n} k}{n!^2} = \frac{\displaystyle \prod\limits_{k=n+1}^{2n} k}{n!} = \frac{(n+1)(n+2)\cdot \ldots \cdot (2n-1)\cdot (2n)}{n!} \end{eqnarray*}$ ,

aber vielleicht genügt dir ja auch

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{n!^2} = \frac{(2n)\cdot (2n-1)!}{n\cdot (n-1)!n!} = \frac{2\cdot (2n-1)!}{(n-1)!n!} \end{eqnarray*}$

oder noch etwas weiter

$\begin{eqnarray*} \ldots = \frac{2(2n-1)\cdot (2n-2)!}{n\cdot (n-1)!^2} = \frac{2(2n-1)}{n}\cdot \frac {(2n-2)!}{(n-1)!^2} \end{eqnarray*}$ .

24.05.2014, 10:50

Zorro der Blitz

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Im grunde möchte ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n^3\cdot n!n!}{(2n)!} \end{eqnarray*}$ bestimmen. Dazu bin ich schon die ganze Zeit am versuchen die Fakultäten irgendwie weg zu kürzen ...
Die $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ spielt ja quasi kaum eine Rolle da die Fakultät schneller wächst als jedes Polynom. verwirrt

24.05.2014, 11:01

HAL 9000

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Dann betrachte das ganze doch am besten so (in Anlehnung an das Quotientenkriterium bei Reihen):

Zitat:

Gibt es für eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n\neq 0 \end{eqnarray*}$ einen Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ sowie eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_{n}}{a_{n-1}} \right| \leq q \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ ,so ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge.

Begründung: Sie kann majorisiert werden durch eine entsprechende geometrische Nullfolge mit demselben Faktor $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ .

Im vorliegenden Fall mit $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^3\cdot n!n!}{(2n)!} \end{eqnarray*}$ betrachtet man dann

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n}}{a_{n-1}} = \frac{n^3\cdot n!n! \cdot (2n-2)!}{(2n)!\cdot (n-1)^3 (n-1)! (n-1)!} \end{eqnarray*}$ ,

und da lässt sich dann ja kräftig kürzen.

24.05.2014, 11:16

Zorro der Blitz

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Der Satz ist ja cool, finde ich den auch irgendwo bei Wikipedia? smile

Ich weiß allerdings nicht ob ich den auch benutzen darf da wir den auch nicht in der Vorlesung hatten. Ich habe auch schon probiert mit dem Sandwich-Methode zu argumentieren. Allerdings bekomme ich nicht wirklich eine gute Abschätzung hin.

24.05.2014, 11:41

HAL 9000

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Nicht jede Banalität muss man mit einem Satznamen würdigen. Aber wie ich schon sagte, du kannst mit dem Quotientenkriterium als hinreichendem Kriterium für die Reihenkonvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_n a_n \end{eqnarray*}$ argumentieren, denn aus der Konvergenz dieser Reihe folgt ja wiederum, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

24.05.2014, 12:12

Zorro der Blitz

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Das hat mir sehr geholfen. Danke!!!

Zorro der Blitz! Tanzen

24.05.2014, 14:05

Zorro der Blitz

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Ich habe doch noch eine Frage und zwar bei der Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3n^2+\sqrt{n\cdot 3^n}}{2^n} \end{eqnarray*}$
da habe ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{3n^2}{2^n}+\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n\cdot 3^n}}{2^n} \end{eqnarray*}$ betrachtet. Die $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{3n^2}{2^n} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen Null da der Exponent für sehr große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ schneller wächst als jedes Polynom. Den zweiten Ausdruck habe ich jetzt mittels Quotientenkriterium untersucht also:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{n+1}\cdot\sqrt{3^n\cdot 3}\cdot 2^n}{2^n\cdot 2\cdot\sqrt{n\cdot 3^n}} \end{eqnarray*}$ Wenn ich mich nicht verrechnet habe erhalte ich dadurch schlussendlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}3+\sqrt{\frac{3}{n}}=\frac{3}{2}>1 \end{eqnarray*}$ demnach divergent. Allerdings müsste $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ja eine Nullfolge sein. Was habe ich falsch gemaacht?

24.05.2014, 14:27

HAL 9000

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Wie kommst du denn auf diese Summe, bzw. ÜBERHAUPT auf eine Summe??? geschockt

Wenn man alles so kürzt, was in Hinblick auf das Ziel sinnvoll zu kürzen geht, dann steht da

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \sqrt{1+\frac{1}{n}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ .

24.05.2014, 14:42

Zorro der Blitz

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Da muss ich wohl einen Fehler irgendwo eingebaut haben. Ich rechne es noch einmal nach. Aber schonmal gut das ich den Weg so wählen kann um Konvergenz zu zeigen.

Dankeschön!!!! Z wie Zorro!!! Freude

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