Sportbetätigung

24.05.2014, 11:34

Bonheur

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Sportbetätigung

Faulheit bei Jugendlichen nimmt zu. Nur 18 % der französischen Jugendlichen gehen häufiger 12 mal pro Monat zu sportlichen Betätigungen. Sie sind "Sportler".

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: Unter zehn zufällig ausgewählten Jugendlichen befinden sich genau 3 Sportler.
B: Unter 6 zufällig ausgewählten Jugendlichen sind 5 keine Sportler.
C: Unter 800 zufällig ausgewählten Jugendlichen sind mindestens 135 und höchstens 185 Sportler.

Ideen:
X: "Anzahl der Jugendlichen"

------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} P(A)=P(X=3)=\binom{10}{3} \cdot 0{,}18^{3} \cdot \left(1-0{,}18\right)^{8} \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------

1. $\begin{eqnarray*} P(X=5)=\binom{6}{5} \cdot \left(0{,}82\right)^{5}\cdot 0{,}18 \end{eqnarray*}$

oder:

2. $\begin{eqnarray*} P(B)=1-P(X=1)=1-\left(\binom{6}{1} \cdot 0{,}18 \cdot \left(0{,}82\right)^{5}\right) \end{eqnarray*}$

Die erste Möglichkeit basiert darauf, dass ich davon ausgehe, dass es genau 5 Nichtsportler gibt, woraufhin die zweite Möglichkeit darauf basiert, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist von 6 zufällig ausgewählten Jugendlichen genau 1 Sportler zu erwischen.

-----------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} P(C)=\sum_{k=135}^{185}\! \binom{800}{k} \cdot 0{,}18^{k} \cdot \left(0{,}82\right)^{800-k} \end{eqnarray*}$

Das sind meine Ideen. smile

smile

Vielen Dank.

24.05.2014, 11:54

Incognita

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Hallo Bonheur,

die Zufallsvariable ist in der Formulierung nicht genau genug.

P(A) stimmt vom Ansatz, auch wenn dir (vermutlich) ein (Flüchtigkeits-)Fehler unterlaufen ist.

P(B): Variante 1 stimmt (allerdings nicht X=5), Variante 2 nicht. Überlege, welches Ereignis zu zu Variante 2 gehört.

P(C) ist richtig.

24.05.2014, 12:14

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} P(A)=P(X=3)=\binom{10}{3} \cdot 0{,}18^{3} \cdot \left(1-0{,}18\right)^{7} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Icognita
P(B): Variante 1 stimmt (allerdings nicht X=5), Variante 2 nicht. Überlege, welches Ereignis zu zu Variante 2 gehört.

Leider komme ich nicht darauf.

Ich würde bloß vermuten, dass von den sechs Leuten fünf Nichtsportler sind, denn die Wahrscheinlichkeit, dass von den sechs Leuten genau ein Sportler vorhanden ist, berechnet sich ja wie folgt:

X: " Anzahl der Nichtsportler "

$\begin{eqnarray*} P(X=1)=\binom{6}{1} \cdot 0{,}18 \cdot \left(0{,}82\right)^{5} \end{eqnarray*}$

Die Gegenwahrscheinlichkeit wäre dann, dass genau 5 Nichtsportler da sind. verwirrt

verwirrt

24.05.2014, 12:24

Incognita

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P(A) ist jetzt richtig Freude

Freude

(Zufallsvariable X=?)

Für B betrachte folgende Ereignisse:

D:= "Genau 1 Schüler treibt Sport"
E:= "Keiner oder mindestens 2 Schüler treiben Sport"
F:= "Genau 5 Schüler treiben keinen Sport"

Welche Ereignisse sind identisch, welches ist Gegenereignis zu den anderen?

24.05.2014, 12:38

Bonheur

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Zitat:

Original von Incognita
P(A) ist jetzt richtig Freude (Zufallsvariable X=?)

X:" Anzahl der Sportler"

X=3 Oder ich lass es ganz weg. smile

smile

Zitat:

Original von Incognita
Für B betrachte folgende Ereignisse:

D:= "Genau 1 Schüler treibt Sport"
E:= "Keiner oder mindestens 2 Schüler treiben Sport"
F:= "Genau 5 Schüler treiben keinen Sport"

Welche Ereignisse sind identisch, welches ist Gegenereignis zu den anderen?

Das Gegenereignis von E ist D.
Keines der Ereignisse ist identisch. verwirrt

verwirrt

24.05.2014, 12:48

Bonheur

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Ahhhhhhhhhhhhhhhhhh Ist ja klar.

Identisch ist D und F

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24.05.2014, 12:53

Incognita

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P(A) ist jetzt vollständig. Freude

Freude

Wir haben 6 Jugendliche, von denen einer Sport treibt. Die restlichen 5 treiben also keinen Sport ...
Dasselbe Ereignis wird hier nur mit unterschiedlichen Worten ausgedrückt.

Falls du noch unsicher bist: Notiere die Wahrscheinlichkeiten für

n=6
X = "Anzahl der Sportler", k=1, p=0,18
Y = "Anzahl der Nichtsportler", k=5, p=0,82

EDIT: Ich bin wieder mal zu langsam unglücklich

unglücklich

24.05.2014, 12:58

Bonheur

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Macht nichts. smile

smile

Da waren noch zwei weitere Teilaufgaben. smile

smile

Darf ich die posten ?

24.05.2014, 13:03

Incognita

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Gern, mach ruhig weiter; ich bin noch ein Weilchen da. smile

smile

24.05.2014, 13:18

Bonheur

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Vielen Dank. smile

smile

b) Wie viele Jugendliche muss man mindestens befragen, um mit 99 % Wahrscheinlichkeit mindestens einen Sportler zu finden ?

c) Eine Firma stellt Fitnessgeräte her. Die Firmenleitung weiß, dass 2 % der ausgelieferten Geräte geringfügige Mängel aufweisen. Lackschäden, Farbabweichungen usw. Bei der internen Qualitätskontrolle werden 96 % der Mangelware und 98 % der fehlerfreien Ware korrekt ausgewiesen.
Stellen Sie die Zusammenhänge geeignet dar (Baumdiagramm oder Vierfeldertafel).
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
D: Ein Gerät wird als Mangelware ausgewiesen.
E: Ein als Mangelware ausgewiesenes Gerät hat tatsächlich Mängel.
F: Ein als fehlerfrei ausgewiesenes Gerät hat in Wirklichkeit Mängel.

Ideen:

b)

Hier muss man die Mindestgröße n der Stichprobe bestimmen. X sei die Anzahl der Jugendliche in einer Bernoullikette der Länge n, welche Sport treiben.
Dann muss gelten:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 1) \geq 0{,}99 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-P(X=0) \geq 0{,}99 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=0) \leq 0{,}01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{0} \cdot 0{,}01^{0} \cdot 0{,}18^{n} \leq 0{,}01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0{,}18^{n} \leq 0{,}01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \geq \frac{log 0{,}01}{log0{,}18} \end{eqnarray*}$

Erstmal nur zu b) smile

smile

24.05.2014, 13:33

Incognita

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Idee und Ansatz sind völlig richtig. Beim Einsetzen stimmt dann ab hier etwas nicht:

Zitat:

Original von Bonheur
$\begin{eqnarray*} \binom{n}{0} \cdot {\color{red}{0{,}01}}^{0} \cdot {\color{red}{0{,}18}}^{n} \leq 0{,}01 \end{eqnarray*}$

Die weitere Rechnung ist zwar folgerichtig, aber das Ergebnis stimmt wegen des vorigen Fehlers nicht.

24.05.2014, 13:39

Bonheur

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Verstehe.

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{0} \cdot 0{,}18^{0} \cdot 0{,}82^{n} \leq 0{,}01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0{,}82^{n} \leq 0{,}01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \geq \frac{log 0{,}01}{log0{,}82} \end{eqnarray*}$

so? smile

smile

24.05.2014, 13:46

Incognita

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Genau!

Freude

24.05.2014, 14:00

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider habe ich Probleme bei c). unglücklich

unglücklich

Könntest du mir einen Denkansatz geben ? smile

smile

24.05.2014, 14:10

Incognita

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin selbst gerade ein bisschen am Grübeln, und zwar wegen "2 % der ausgelieferten Geräte". Das wäre für eine Schüleraufgabe ungewöhnlich schwierig.

Könntest du bitte noch einmal nachschauen, ob dort wirklich "ausgelieferten" und nicht etwa "produzierten" Geräte steht? Ist die Aufgabe aus einem Buch oder von deinem Lehrer?

24.05.2014, 14:18

Bonheur

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Die Aufgabe ist von meinem Lehrer und da steht wirklich "ausgeliefert".

24.05.2014, 14:31

Incognita

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Nehmen wir mal an, dein Lehrer hat wirklich gemeint, was er da geschrieben hat (die Firma müsste längst pleite sein!).

Ich würde eine Vierfeldertafel bevorzugen; dies ist wegen der Angaben einfacher als ein Baumdiagramm.
Welche Struktur wählst du? Ich frage noch nicht nach Wahrscheinlichkeiten, da helfe ich dir gleich beim Ansatz!

An andere potentielle Helfer: die Zahlen kommen mir so unrealistisch vor, dass ich für ein Feedback dankbar wäre!

24.05.2014, 14:45

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} M: "\text{weist Mängel auf}" \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{M}:"\text{weist keine Mängel auf}" \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A:"\text{wird ausgewiesen}" \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{A}:"\text{wird nicht ausgewiesen}" \end{eqnarray*}$

Kann man diese Anordnung wählen ?

24.05.2014, 14:50

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

die Zahlen sind schon realistisch, die Formulierung ist vielleicht etwas schrag.

Es dürfte um folgende Ereignisse gehen:

$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ = Gerät wird als Mangelware ausgewiesen
$\begin{eqnarray*} \bar M \end{eqnarray*}$ = Gerät wird als fehlerfrei ausgewiesen
$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ = Gerät hat einen Fehler
$\begin{eqnarray*} \bar F \end{eqnarray*}$ = Gerät hat keinen Fehler

Dann ist z.B. $\begin{eqnarray*} P(F)=0,02 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{F} (M)=0,96 \end{eqnarray*}$ .

ich hoffe, das hilft

24.05.2014, 14:53

Incognita

Auf diesen Beitrag antworten »

M ist gut.
A ist zu ungenau (wird als was ausgewiesen?). Arbeite lieber mit "wird ausgeliefert".

Setze jetzt in der Vierfeldertafel $\begin{eqnarray*} P(M)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A)=y \end{eqnarray*}$ . Drücke die anderen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von x und y aus. Versuche eine Beziehung zwischen x und y herzustellen und nutze die Summen in der Vierfeldertafel.

24.05.2014, 14:55

Incognita

Auf diesen Beitrag antworten »

@Mi_cha:

P(F)=0,02 würde gelten, wenn dort "produzierten" Geräte stünde, tatsächlich steht dort aber "ausgelieferten". Deshalb meine Nachfrage.

24.05.2014, 15:02

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute ganz stark, dass P(F)=0,02 gilt, sonst kann man die Aufgabe gar nicht lösen smile

smile

[sofern ich nicht etwas übersehe].

Aber du hast schon recht, da sollte eigentlich "produziert" stehen. Ansonsten weiß ich es auch nicht

24.05.2014, 15:07

Incognita

Auf diesen Beitrag antworten »

Lösbar ist sie schon (ich habe es berechnet), aber auch ich tendiere zu der Annahme, dass der Lehrer nicht exakt formuliert hat und letzteres gemeint hat.

Armer Bonheur geschockt

geschockt

Hmmm -- wie möchtest du vorgehen? Exakt nach Formulierung oder nach dem, was vermutlich (!) gemeint war?
ETA: Dann hätten wir einen wesentlich einfacheren Ansatz als meinen vorher genannten.

24.05.2014, 15:22

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte gerne beides können. smile

smile

$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ = Gerät wird als Mangelware ausgewiesen
$\begin{eqnarray*} \bar M \end{eqnarray*}$ = Gerät wird als fehlerfrei ausgewiesen
$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ = Gerät hat einen Fehler
$\begin{eqnarray*} \bar F \end{eqnarray*}$ = Gerät hat keinen Fehler

Dann ist z.B. $\begin{eqnarray*} P(F)=0,02 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{F} (M)=0,96 \end{eqnarray*}$ .

1. $\begin{eqnarray*} P(D)=P_{F} (M)=0,96 \end{eqnarray*}$

2. Gesucht: $\begin{eqnarray*} P(E)=P(F \cap M)=0.2 \cdot 0.96 \end{eqnarray*}$

3. Gesucht: $\begin{eqnarray*} P(F)=P(F \cap \overline{M})= 0.2 \cdot 0.98 \end{eqnarray*}$

so ? smile

smile

24.05.2014, 15:39

Incognita

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Okay

smile

Zitat:

Original von Bonheur
1. $\begin{eqnarray*} P(D)=P_{F} (M)=0,96 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_{F} (M) \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mangel ausgewiesen wird, wenn das Produkt fehlerhaft ist.
Gefragt war aber: D: Ein Gerät wird als Mangelware ausgewiesen.

Zitat:

Original von Bonheur
2. Gesucht: $\begin{eqnarray*} P(E)=P(F \cap M)=0.2 \cdot 0.96 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(F \cap M) \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt fehlerhaft ist und als mangelhaft ausgewiesen wird.
Gefragt war aber: E: Ein als Mangelware ausgewiesenes Gerät hat tatsächlich Mängel. Das lässt sich in einen Bedingungssatz umformulieren.
3. Frage analog.

24.05.2014, 15:53

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider komme ich nicht darauf. verwirrt

verwirrt

24.05.2014, 16:01

Incognita

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du eine Vierfeldertafel oder ein Baumdiagramm erstellt?

Und: hast du grundsätzlich Probleme zu erkennen, ob eine bedingte oder eine unbedingte Wahrscheinlichkeit gesucht ist?

24.05.2014, 16:27

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} & F & \overline{F} & \\ M & 0.0192 & 0{,}9408 & \\ \overline{M} & 0{,}0196 & & \\ & & & \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bin gerade so verplant. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Icognita
Und: hast du grundsätzlich Probleme zu erkennen, ob eine bedingte oder eine unbedingte Wahrscheinlichkeit gesucht ist?

Ja. Ein wenig.

24.05.2014, 16:54

Incognita

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben ja noch $\begin{eqnarray*} P(F)=0.02 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c|c|c|c} & F & \overline{F} & \text{Summe} \\ \hline M & 0.0192 & & \\ \hline \overline{M} & & & \\ \hline \text{Summe} & & & 1\end{array} \end{eqnarray*}$

Außerdem ist noch $\begin{eqnarray*} P_{\overline{F}}(\overline{M}) \end{eqnarray*}$ gegeben; damit kannst du die restlichen Felder ausfüllen.

Zum Erkennen von bedingten Ereignissen/Wahrscheinlichkeiten:
Eine Faustregel: überlege, ob du den Satz in einen Wenn-Satz umformulieren kannst.

Mit "E: Ein als Mangelware ausgewiesenes Gerät hat tatsächlich Mängel." geht das: Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Gerät Mängel, wenn ich weiß (unter der Bedingung), dass es als Mangelware ausgewiesen wurde?

Mit "D: Ein Gerät wird als Mangelware ausgewiesen." geht das aber nicht: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Gerät als Mangelware ausgewiesen, unabhängig davon, ob es in der Realität Mängel hat oder nicht?

--------------------------
@Mi_cha: nachträglich danke für dein Feedback. Ich kämpfe als Neuling noch etwas mit dem Board und bin noch nicht so souverän, alles im Blick zu haben.

24.05.2014, 17:06

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Muss man nun, um das zweite Feld auszufüllen.

Für: $\begin{eqnarray*} P(\overline{F} \cap M)=0.98 \cdot 0.96=0.9408 \end{eqnarray*}$
rechnen ?

24.05.2014, 17:14

Incognita

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$\begin{eqnarray*} P(\overline{F} \cap M)=P(\overline{F})\cdot P_{\overline{F}}(M)=0.98 \cdot \text{?} \end{eqnarray*}$

24.05.2014, 17:26

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht. unglücklich

unglücklich

Das Thema ist ja richtig kompliziert.

$\begin{eqnarray*} P(\overline{F} \cap M) \end{eqnarray*}$

- 98 % von diesen produzierten weisen keine Mängel auf und von diesen produzierten werden 96 % als Mangelware ausgewiesen.

oder?

24.05.2014, 17:36

Incognita

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bonheur
Das Thema ist ja richtig kompliziert.

Gerade in Stochastik ist wirklich jedes einzelne Wort wichtig, und auch ich habe damals ein Weilchen gebraucht, bis ich es verstanden hatte.

Zitat:

Original von Bonheur
$\begin{eqnarray*} P(\overline{F} \cap M) \end{eqnarray*}$

- 98 % von diesen produzierten weisen keine Mängel auf und von diesen produzierten werden 96 % als Mangelware ausgewiesen.

Originaltext: 98 % der fehlerfreien Ware korrekt ausgewiesen
Also wie viel % als mangelhaft?

24.05.2014, 17:41

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

0.98 ?

24.05.2014, 17:44

Incognita

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn fehlerfreie Ware korrekt ausgewiesen wird, wird sie ja als nicht mangelhaft ausgewiesen. Gegenwahrscheinlichkeit!

24.05.2014, 17:50

Bonheur

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Ich denke, dass ich langsam dahinter komme.

$\begin{eqnarray*} P(\overline{F} \cap M)=0.98 \cdot 0.02=0.0196 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss es stimmen. Wenn das nicht stimmt, dann habe ich echt kein Plan mehr. unglücklich

unglücklich

24.05.2014, 17:54

Incognita

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Richtig!

Prost

Freude

Nun den Rest der Vierfeldertafel ausfüllen smile

smile

24.05.2014, 18:13

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c|c|c|c} & F & \overline{F} & \text{Summe} \\ \hline M & 0.0192 & 0.0196 & 0.0388 \\ \hline \overline{M} & 0.0008 & 0.9604 & 0.9612 \\ \hline \text{Summe} & 0.02 & 0.98 & 1\end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(F \cap \overline{M})=0.02 \cdot 0.04=0.0008 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\overline{F} \cap \overline{M})=0.98 \cdot 0.98=0.9604 \end{eqnarray*}$

Bitte sag mir, dass es richtig ist. smile

smile

24.05.2014, 18:16

Incognita

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Alles richtig! smile

smile

24.05.2014, 18:23

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt fällt mir auch ein Ansatz für D ein.

$\begin{eqnarray*} P(D)=0.02 \cdot 0.96 + 0.98 \cdot 0.02 \end{eqnarray*}$

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