Stochastische Unabhängigkeit

24.05.2014, 11:52

planlos93

Stochastische Unabhängigkeit

Meine Frage:
Hallo alle zusammen,

Wir haben in Stoachstik folgende Aufgabe bekommen:
Zeigen oder widerlegen Sie:
a) X und Y sind stochastisch unabhängig (s.u.) <=> X² und Y² sind stochastisch unabhängig.
b) X und Y sind s.u., X und Z sind s.u. <=> X und (Y,Z) sind s.u., wobei (Y,Z) einen Vektor beschreiben soll
c) X und Y sind s.u., Y und Z sind s.u. <=> X und Z sind s.u.
d) X und (Y,Z) sind s.u., Y und Z sind s.u. <=> X, Y und Z sind s.u.

Meine Ideen:
Meine Idee war, über die Definition zu lösen. Leider bleibe ich da immer relativ schnell hängen:
zu a) Voraussetzung:
$\begin{eqnarray*} P({X\in A_{1}} \cap {Y\in A_{2}})= P({X\in A_{1}})\cdot P({Y\in A_{2}}) \end{eqnarray*}$
Nun soll ich ja darauf kommen, dass diese Formel auch für X² und Y² gilt.
Ich habe überlegt, dass ich dafür einfach erstmal die linke Seite der Formel quadriere. Also:
$\begin{eqnarray*} (P({X\in A_{1}} \cap {Y\in A_{2}}))^{2} = (P({X\in A_{1}})\cdot P({Y\in A_{2}}))^{2} = (P({X\in A_{1}}))^{2}\cdot (P({Y\in A_{2}})^{2} \end{eqnarray*}$
Nur wie komme ich jetzt auf $\begin{eqnarray*} P({X^{2}\in A_{1}} \cap {Y^{2}\in A_{2}}) = P({X^{2}\in A_{1}})\cdot P({Y^{2}\in A_{2}}) \end{eqnarray*}$ , was ich ja erreichen möchte.

Habt ihr vielleicht auch Tipps für die anderen Aufgabenteile?

Viele Dank schonmal im Voraus!

24.05.2014, 12:06

planlos93

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Kleine Korrektur: Bei Aufgabe c) ist natürlich nur die Implikation in diese Richtung => zu zeigen.

24.05.2014, 12:13

HAL 9000

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Zu a) Für die Äquivalenz muss aber auch die Rückrichtung $\begin{eqnarray*} \Longleftarrow \end{eqnarray*}$ gelten, was hier aber nicht der Fall ist! D.h.: Gegenbeispiel suchen!

Zu c) Ein Gegenbeispiel mit $\begin{eqnarray*} Z=X \end{eqnarray*}$ für die Hinrichtung ist geradezu offensichtlich.

b) und d) sind richtig, d.h.: Da ist wirklich ein Beweis nötig.

24.05.2014, 13:14

planlos93

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Vielen Dank für die Hinweise. Das hilft mir schon mal ein Stück weiter!

27.05.2014, 17:51

planlos93

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Also folgende Lösungen hab ich jetzt herausbekommen:

zu a) Gegenbeispiel:

Seien $\begin{eqnarray*} A_{1}, A_{2} \end{eqnarray*}$ unabhängige, absolut stetige Zufallsvariablen.
B sei von $\begin{eqnarray*} A_{1}, A_ {2} \end{eqnarray*}$ unabhängig mit $\begin{eqnarray*} P(B=-1)=P(B=1)= \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$
Seien nun $\begin{eqnarray*} X=B\cdot A_{1} und Y=B\cdot A_{2} \end{eqnarray*}$ . Dann sind X und Y abhängig.

Aber $\begin{eqnarray*} X^{2} = A_{1}^{2} und Y^{2} = A_{2}^{2} \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} A_{1} und A_{2} \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

zu c) Sei $\begin{eqnarray*} O=\left\{w_{1},w_{2}| w_{i}\in \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\right\} , i=1,2\right\} \end{eqnarray*}$ , A=P(O) die Potenzmenge und $\begin{eqnarray*} P(\left\{ w\right\} )= \frac{1}{36} \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} X(w)=w_{1}, Y(w)=w_{2}, Z(w)=X(w) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} P(X=w_{1})\cdot P(Y=w_{2})=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} = P(X=w_{1}, Y=w_{2}) \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} P(Y=w_{2})\cdot P(X=w_{1})=P(Y=w_{2}, X=w_{1}) \end{eqnarray*}$ wobei die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(X=w_{1})=P(Z=w_{1}) und P(Y=w_{2}, X=w_{1})= P(Y=w_{2}, Z=w_{1}) \end{eqnarray*}$ gleich sind.
Aber: $\begin{eqnarray*} P(X=w_{1})\cdot P(Z=w_{1}) = (P(X=w_{1}))^{2} = \frac {1}{36} \neq \frac {1}{6} = P(X=w_{1}) = P(X=w_{1}, Z=w_{1}) \end{eqnarray*}$

zu d)
$\begin{eqnarray*} P(X=x,Y=y,Z=z)=P(X=x)\cdot P(Y=y,Z=z)=P(X=x)\cdot P(Y=y)\cdot P(Z=z) \end{eqnarray*}$

Stimmt bzw. reicht das alles wohl so?
Zu b) fällt mir leider gar nichts ein. Hat da jemand Hinweise zum Lösungsansatz?

27.05.2014, 19:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von planlos93
Seien $\begin{eqnarray*} A_{1}, A_{2} \end{eqnarray*}$ unabhängige, absolut stetige Zufallsvariablen.
B sei von $\begin{eqnarray*} A_{1}, A_ {2} \end{eqnarray*}$ unabhängig mit $\begin{eqnarray*} P(B=-1)=P(B=1)= \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$
Seien nun $\begin{eqnarray*} X=B\cdot A_{1} und Y=B\cdot A_{2} \end{eqnarray*}$ . Dann sind X und Y abhängig.

Ich sag jetzt einfach mal: Glaub ich dir nicht - beweise das mit einem konkreten Rechnung! smile

Für Beispiele gilt: So klar und einfach wie möglich halten - deins ist schon viiiel zu kompliziert und unkonkret. Ich htte einfach folgendes genommen, auf Basis deines $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} X = Y = B \end{eqnarray*}$ .

Denn dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nicht von sich selbst unabhängig ist, folgt klar aus $\begin{eqnarray*} P(X=1\wedge Y=1) = P(B=1) = \frac{1}{2}\neq \frac{1}{4} = P(X=1)\cdot P(Y=1) \end{eqnarray*}$ .

Andererseits ist dann $\begin{eqnarray*} X^2 = Y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ konstant, dabei reicht sogar eine Konstante, denn jeder Zufallsgröße ist von einer konstanten Zufallsgröße unabhängig.

Das Gegenbeispiel zu c) ist in Ordnung. Freude

Der Beweis von d) ginge in Ordnung, wenn vorausgesetzt werden kann, dass $\begin{eqnarray*} X,Y,Z \end{eqnarray*}$ diskret verteilt sind. Davon lese ich aber oben nix - hast du das vergessen? Wenn es nicht da steht, kannst du es leider nicht verwenden und musst den Beweis etwas überarbeiten.

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