Grenzwert Zufallsgrößen

24.05.2014, 13:59

rosy94

Grenzwert Zufallsgrößen

Meine Frage:
Gegeben sei eine Folge $\begin{eqnarray*} X_1, X_2,... \end{eqnarray*}$ u.i.v. Zufallsgrößen über einem W-Raum $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathfrak{A}, P) \end{eqnarray*}$ mit Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu=0 \end{eqnarray*}$ und Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2=1 \end{eqnarray*}$ . Sei zudem
$\begin{eqnarray*} \xi_n:= \frac{\sum\limits_{i=1}^n X_i}{\sqrt{2n ln ln n}} ,n \geq 3 \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} | \xi_{n+1}- \xi_n |=0 \end{eqnarray*}$ P-f.s.

Meine Ideen:
Also mir ist bewusst, dass ich das Gesetz vom iterierten Logarithmus für $\begin{eqnarray*} \xi_n \end{eqnarray*}$ anwenden kann. Wieso kann ich dann folgern, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \xi_n=0 \end{eqnarray*}$ gilt?
Welcher Grenzwertsatz ist wohl bei dieser Aufgabe am sinnvollsten anzuwenden?
Vielen Dank für eure Hilfen!

LG

24.05.2014, 14:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von rosy94
Wieso kann ich dann folgern, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \xi_n=0 \end{eqnarray*}$ gilt?

Das ist doch nicht Gegenstand dieser Aufgabe hier. verwirrt

Versuche doch mal, die Differenz $\begin{eqnarray*} \xi_{n+1}-\xi_n \end{eqnarray*}$ geeignet umzuformen, und diese dann in Summanden zu zerlegen, die jeder für sich fast sicher gegen Null konvergieren.

24.05.2014, 14:39

rosy94

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Könntest du mir vielleicht noch einen weiteren Tipp geben, worauf ich beim umstellen achten sollte? Bisher hab ich irgendwie noch nichts gescheites hinbekommen...

25.05.2014, 11:11

rosy94

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Hm...also irgendwie schaffe ich das mit der Umformung nicht so wirklich, kriege da irgendwie nicht so wirklich Summanden raus, die fas sicher gegen 0 konvergieren. Magst du mir vielleicht einmal den Anfang verraten oder so? Das wäre echt super.

25.05.2014, 12:38

HAL 9000

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Nun, es ist

$\begin{eqnarray*} \xi_{n+1} - \xi_n = \left( \frac{1}{\sqrt{2(n+1)\ln(\ln(n+1))}} - \frac{1}{\sqrt{2n\ln(\ln(n))}} \right) \sum_{i=1}^n X_i + \frac{1}{\sqrt{2(n+1)\ln(\ln(n+1))}} X_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Gemäß Zentralem Grenzwertsatz konvergiert $\begin{eqnarray*} Z_n:=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$ in Verteilung gegen eine standardnormalverteilte Zufallsgröße, wir können damit weiter schreiben

$\begin{eqnarray*} \xi_{n+1} - \xi_n = -a_n Z_n + b_n X_{n+1} \end{eqnarray*}$

mit positiven Vorfaktoren

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{\sqrt{2\ln(\ln(n))}} - \sqrt{\frac{n}{n+1}} \frac{1}{\sqrt{2\ln(\ln(n+1))}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{\sqrt{2(n+1)\ln(\ln(n+1))}} \end{eqnarray*}$ ,

die beides bzgl. $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Nullfolgen sind.

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