Schätzer erwartungstreu

24.05.2014, 14:29

Gast8765

Schätzer erwartungstreu

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich soll zeigen, dass folgender Schätzer erwartungstreu ist $\begin{eqnarray*} T(X)=min\{X_1,...,X_n\}-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ .
Dabei sind $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ i.i.d. und $\begin{eqnarray*} Unif(\theta,\theta+1) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
So nun habe ich schon die Dichtefunktion des Minumums bestimmt und zwar zu $\begin{eqnarray*} f(x)=n(1-x)^{n-1} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (\theta,\theta+1) \end{eqnarray*}$ .

Somit würde sich der Erwartungswert folgendermaßen berechnen $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(T)=\mathbb{E}(min\{X_1,...,X_n\})-\frac{1}{n+1}=\int_{\theta}^{\theta+1}n(1-x)^{n-1}\cdot x dx \end{eqnarray*}$ .

Nun weiß ich allerdings nicht mehr weiter. Wie kann ich das Integral bestimmen? Bin ich auf dem Holzweg? Ich weiß, was das Integral von 0 bis 1 ergibt. Hilft das mir hier weiter?

Danke für die Hilfe!

24.05.2014, 14:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast8765
So nun habe ich schon die Dichtefunktion des Minumums bestimmt und zwar zu $\begin{eqnarray*} f(x)=n(1-x)^{n-1} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (\theta,\theta+1) \end{eqnarray*}$ .

Nein. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} f(x)=n(\theta+1-x)^{n-1} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (\theta,\theta+1) \end{eqnarray*}$ .

24.05.2014, 14:48

Gast8765

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ach das liegt daher, dass mein Intervall bis $\begin{eqnarray*} \theta+1 \end{eqnarray*}$ geht und ich somit die Gegenwahrscheinlichkeit natürlich mit $\begin{eqnarray*} \theta+1 \end{eqnarray*}$ berechnen muss.

Allerdings weiß ich nun immer noch nicht weiter, wie ich dieses integral $\begin{eqnarray*} \int_{\theta}^{\theta+1}n(\theta+1-x)^{n-1}\cdot x dx \end{eqnarray*}$ berechen kann. Hast du mir dazu noch einen Tipp?

24.05.2014, 14:49

HAL 9000

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Wie wäre es denn einfach mit der naheliegenden Substitution $\begin{eqnarray*} u = \theta+1-x \end{eqnarray*}$ ?

24.05.2014, 15:08

Gast8765

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das hatte ich versucht, habe mich dann allerdings verrechnet Hammer

jetzt habe ich es allerdings. Vielen Dank Wink

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