Beispiel für P(X<Y) = 1/2

24.05.2014, 17:06

Lithiesque

Beispiel für P(X<Y) = 1/2

Hallo,

gesucht ist ein Beispiel für zwei Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X, Y \end{eqnarray*}$ mit verschiedenen, stetigen Verteilungsfunktionen und $\begin{eqnarray*} P(X<Y) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Zunächst sollen die beiden Zufallsvariablen zusätzlich unabhängig sein.

Wir haben einige Verteilungen mit stetiger Verteilungsfunktion behandelt (Normal-, $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ -, $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ - und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ -Verteilung).
Meine erste Idee war es, einfach zwei zu unterschiedlichen Parametern (z.B. verschiedene Erwartungswerte) normalverteilte Zufallsvariablen zu nehmen, aber ich weiß nicht genau, wie man dann die Bedingung nachrechnet.
Ich schätze mal, man muss nicht unbedingt die Zufallsvariablen konkret angeben, sondern eher deren Verteilungsfunktion bzw Dichte, oder?

24.05.2014, 18:12

HAL 9000

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Nimm doch einfach zwei stetige Gleichverteilungen: Eine auf $\begin{eqnarray*} [1,2] \end{eqnarray*}$ , und die andere auf $\begin{eqnarray*} [0,3] \end{eqnarray*}$ .

24.05.2014, 18:40

Lithiesque

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Dann wären die Verteilungsfunktionen $\begin{eqnarray*} F(x)=0, x<1, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} F(x)=x-1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [1,2], \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} F(x)=1, x>2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G(x)=0, x<0, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} G(x)=\frac{x}{3} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,3], \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} G(x)=1, x>3 \end{eqnarray*}$ .

Aber wie berechne ich damit $\begin{eqnarray*} P(X<Y) \end{eqnarray*}$ ?

24.05.2014, 18:53

HAL 9000

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Die gemeinsame Dichte ist

$\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1\leq x\leq 2,0\leq y\leq 3 \end{eqnarray*}$ ,

sonst Null. Und diese Dichte musst du über

$\begin{eqnarray*} G = \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \bigm| x\leq y \right\} \end{eqnarray*}$

integrieren. Man kann es auch als geometrische Wahrscheinlichkeit auf dem Rechteck $\begin{eqnarray*} [1,2]\times [0,3] \end{eqnarray*}$ auffassen.

24.05.2014, 21:52

Lithiesque

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Das leuchtet ein, vielen Dank.

Im zweiten Teil der Aufgabe ist ein weiteres Beispiel gefragt; aber diesmal sollen die Zufallsvariablen abhängig sein. D.h. man bekommt die gemeinsame Dichte leider nicht mehr einfach durch Multiplikation der Einzeldichten. Geht das trotzdem wieder mit gleichverteilten Zufallsvariablen?

24.05.2014, 23:59

HAL 9000

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Du kannst ja die Abhängigkeit "künstlich" reinbringen. Nimm z.B. als Ausgangspunkt zwei unabhängige, auf [0,1] stetig verteilte Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} U,V \end{eqnarray*}$ und definiere damit $\begin{eqnarray*} X=U+V \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} Y=2V \end{eqnarray*}$ :

Die sind offenbar abhängig (sieht man z.B. über deren Kovarianz), und es ist

$\begin{eqnarray*} P(X<Y) = P(U+V < 2V) = P(U<V) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

25.05.2014, 00:29

Lithiesque

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Stetig verteilt heißt stetig gleichverteilt, oder? Dann müsste man ja noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unterschiedliche Verteilungsfunktionen haben (war mir zumindest nicht auf den ersten Blick klar). Ich habe mal versucht, diese zu bestimmen:
Y hätte die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F(t)=\frac{t}{2}, t \in [0,2], \end{eqnarray*}$ und die von X wäre dann $\begin{eqnarray*} G(t)=t-\frac{1}{2}, t \in [\frac{1}{2},\frac{3}{2}] \end{eqnarray*}$ ("links" der angegebenen Definitionsbereiche beide $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , "rechts" davon beide $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ). Ist das richtig?

25.05.2014, 14:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lithiesque
Stetig verteilt heißt stetig gleichverteilt, oder?

Ja, hab ich hier so gemeint - sorry, das "gleich" fehlt im Text.

Zitat:

Original von Lithiesque
Dann müsste man ja noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unterschiedliche Verteilungsfunktionen haben (war mir zumindest nicht auf den ersten Blick klar). Ich habe mal versucht, diese zu bestimmen:
Y hätte die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F(t)=\frac{t}{2}, t \in [0,2], \end{eqnarray*}$

Ja: Die Multiplikation mit 2 entspricht dann einer stetigen Gleichverteilung auf dem Intervall [0,2].

Zitat:

Original von Lithiesque
und die von X wäre dann $\begin{eqnarray*} G(t)=t-\frac{1}{2}, t \in [\frac{1}{2},\frac{3}{2}] \end{eqnarray*}$ ("links" der angegebenen Definitionsbereiche beide $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , "rechts" davon beide $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ). Ist das richtig?

Nein: Die Dichte dieser Summe ist eine "Dreieckverteilung auf [0,2] mit Spitze in der Mitte bei Position 1, für die Verteilungsfunktion (per Integration) bedeutet dies

$\begin{eqnarray*} G(t) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; t\leq 0 \\ \frac{t^2}{2} & \;\mbox{für}\; 0\leq t\leq 1 \\ 1-\frac{(2-t)^2}{2} & \;\mbox{für}\; 1\leq t\leq 2 \\ 1 & \;\mbox{für}\; t\geq 2 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

25.05.2014, 15:31

Lithiesque

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Alles klar - vielen Dank nochmals!

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