Tangentialebene und "Quadrik"

25.05.2014, 18:22	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentialebene und "Quadrik" Hallo! Ich habe eine Frage zu folgendem Sachverhalt. Wir sollen an folgende Menge im Punkt a=(3,4,5) die Tangentialebene bestimmen. Die Menge ist folgende: $\begin{eqnarray} A:= \{ \vec x \in \mathbb R^3 ; 2x^2+2y^2-z^2=25 \} \end{eqnarray}$ Die Ebene habe ich bereits bestimmt, (mithilfe der Hesse-Normalform), mit: $\begin{eqnarray} T_{\vec a}A= \{ \vec x \in \mathbb R^3 ; \langle \vec x, \frac 1 {10\sqrt 5} (12,16,-10)^T \rangle = \sqrt 5 \} \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} (12,16,-10)^T \end{eqnarray}$ der Normalenvektor ist und $\begin{eqnarray} \sqrt 5 \end{eqnarray}$ das Ergebnis aus dem Skalarprodukt von dem Vektor a mit dem Normalenvektor. Bis dahin hab ich auch keine Probleme, jedoch frage ich mich, was die "25" in der Menge A (anschaulich) zu bedeuten hat. In einer anderen Übungsaufgabe war bei einer ähnlichen Menge eine 1 hinter dem Gleichheitszeichen.. Und die zweite Frage diesbezüglich wäre, warum die 25 in dieser Rechnung mit der Tangentialebene nicht mit in die Rechnung mit einbezogen wird. [Was wäre z.B., wenn dort eine "0" stände? ] Bin für jedes Kommentar dankbar!
26.05.2014, 12:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Anschauung unterstützt Wolfram Alpha : http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%...%5E2-z%5E2%3D25 Da siehst du ganz leicht, dass bei positiver rechter Seite ein einschaliges Hyperboloid, bei rechter Seite =0 ein (Doppel-)Kegel und bei negativer rechter Seite ein zweischaliges Hyperboloid entsteht. Der Wert der rechten Seite (ungleich 0) ist dann ein Skalierungsfaktor.
26.05.2014, 12:47	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, dankeschön Das hatte mich schon bei ein paar Aufgaben vor einigen Wochen beschäftigt, aber ich hatte dann vergessen zu fragen. Danke
26.05.2014, 14:52	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleine Frage am Ende: Für die Berechnung der Tangentialebene an einem Gegebenen Punkt ist der Wert rechts des Gleichheitszeichen also irrelevant?
26.05.2014, 18:35	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die Tangentialebene zur Menge A bestimme komm ich auf 12x+16y-10z=50 Edit: Ach, haste ja auch herraus, sorry.
26.05.2014, 18:58	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss jetzt doch nochmal etwas nachfragen. Die Berechnung der Tangentialebenen ist sehr einfach, bloß würde mich interessieren wie man denn genau die Lösungsmenge hinschreibt. Wäre folgendes richtig in Bezug zu der ersten Ebene: $\begin{eqnarray} T_{\vec{x}_{0} }A=\left\{\vec{x} \in \mathbb R^{3};12x+16y-10z=50\right\} \end{eqnarray}$ mfg
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26.05.2014, 19:05	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, also ich hab das halt noch als Skalarprodukt geschrieben, also $\begin{eqnarray} \langle (12,16-10)^T,(x,y,z)^T\rangle = 50 \end{eqnarray}$ sieht schick aus
26.05.2014, 21:00	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Menge B hast du sicherlich auch das analog gemacht mit x^2 + y^2 -z^2=0. Lösung wäre dann etwas ungeschickt ausgedrückt die Menge 6x+8y-10z=0 mit vektor x € IR^3.
26.05.2014, 21:08	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
So sollte man es schreiben dürfen, jap. Ich hab da zwar noch durch die Länge des Normalenvektors bedingt einen Faktor, der aber natürlich beim "hochmultiplizieren" wegfällt.

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