faktorisierte bedingte Erwartung

25.05.2014, 18:46

Ysmulc

faktorisierte bedingte Erwartung

Meine Frage:
Hallo!

Ich habe ein Problem bezüglich der faktorisierten bedingten Erwartung:

Sei $\begin{eqnarray*} ( \Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P} ) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \subset \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ eine sigma Algebra, $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ -messbare Zufallsvariable und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine messbare Funktion.

Ich habe eine Abschätzung der faktorisierten bedingten Erwartung

$\begin{eqnarray*} E(f(X) \vert X=x ) \leq c \end{eqnarray*}$

für eine Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und versuche davon auf eine Abschätzung der Art

$\begin{eqnarray*} E(f(X) \vert \mathcal{C} ) \leq \tilde{c} \end{eqnarray*}$

für eine Konstante $\begin{eqnarray*} \tilde{c} \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

Meine Ideen:
Ich denke man muss die $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ -Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ausnutzen, aber ich sehe nicht wie. Habt ihr eine Idee?

Vielen Dank für eure Hilfe!

25.05.2014, 18:50

HAL 9000

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Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ -messbar ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} f(X) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ -messbar, woraus direkt

$\begin{eqnarray*} E(f(X) \mid \mathcal{C}) = f(X) \end{eqnarray*}$

folgt, genauso wie $\begin{eqnarray*} E(f(X) \mid X=x) = f(x) \end{eqnarray*}$ ist.

25.05.2014, 19:10

Ysmulc

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Schon mal Danke.

Wie sieht das bei folgendem Problem aus?

Ich habe eine Abschätzung der Art:

$\begin{eqnarray*} E ( I_{\{f(Y) \leq X\}} \vert X=x) \leq c \end{eqnarray*}$

für eine von $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und versuche eine Abschätzung

$\begin{eqnarray*} E ( I_{\{f(Y) \leq X \}} \vert \mathcal{C}) \leq \tilde{c} \end{eqnarray*}$

für eine Konstante $\begin{eqnarray*} \tilde{c} \end{eqnarray*}$ zu finden.

(I steht für die Indikatorfunktion, die anderen Bezeichnungen sind wie zuvor zu verstehen.)

25.05.2014, 20:03

HAL 9000

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Und auch hier wird wieder die $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ -messbarkeit von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt? Falls ja:

Dann sind ja auch $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängig, und deine komplizierte Schreibweise bedeutet vereinfacht.

$\begin{eqnarray*} E(I_{\{f(Y)\leq X\}} \mid X=x) = P(f(Y)\leq X \mid X=x) = P(f(Y)\leq x \mid X=x) \stackrel{U}{=} P(f(Y)\leq x) \end{eqnarray*}$

Daraus - jetzt muss ich aufpassen - müsste folgen

$\begin{eqnarray*} E(I_{\{f(Y)\leq X\}} \mid \mathcal{C})(\omega^*) = P(f(Y)\leq X(\omega^*)) \end{eqnarray*}$ .

Vorsicht: Das ist i.a. nicht dasselbe wie die konstante Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(f(Y)\leq X) \end{eqnarray*}$ - außer natürlich in dem Spezialfall, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ tatsächlich eine konstante Zufallsgröße ist.

Ob dir das bei deinem Problem (welches ich nicht so richtig verstehe) hilft, weiß ich nicht - ich hab einfach nur mal versucht, deine Konstrukte für mich verständlicher zu machen. Augenzwinkern

Jedenfalls hast du mein vollstes Verständnis: Trotz Promotion in Stochastik (die allerdings schon ein Weilchen zurückliegt) habe ich immer ein etwas mulmiges Gefühl, wenn es um bedingte Erwartung in derart allgemein gefassten Rahmen geht.

25.05.2014, 21:58

Ysmulc

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Danke! Ich verstehe noch nicht wie du von deiner ersten Zeile auf

$\begin{eqnarray*} E(I_{\{f(Y)\leq X\}} \vert \mathcal{C})( {\omega}^{*})=P( f(Y) \leq X({\omega}^{*})) \end{eqnarray*}$

kommst. (und wieso $\begin{eqnarray*} {\omega}^{*} \end{eqnarray*}$ ?)

Danke auch für dein Mitgefühl.^^ Ich kämpfe gerade für meine Masterarbeit mit ewig langen Rekursionen von denen ich immer wieder die bedingten Erwartungswerte betrachten muss. Da kommen einige grundsätzliche Fragen auf.

25.05.2014, 22:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ysmulc
und wieso $\begin{eqnarray*} {\omega}^{*} \end{eqnarray*}$ ?

Weil mir gerade danach war. Augenzwinkern

Du kannst das Argument der bedingten Erwartung natürlich nennen, wie du willst - wichtig ist nur, dass es aus dem Grundraum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ stammt. $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ wollte ich es bewusst nicht nennen, weil man so oft die Integrationsvariable bei der Integration über $\begin{eqnarray*} \dd P \end{eqnarray*}$ nennt, und diese Verwechslung (obwohl hier gar nicht akut) wollte ich bewusst vermeiden.

25.05.2014, 22:37

Ysmulc

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ok. von mir aus auch $\begin{eqnarray*} {\omega}^{*} \end{eqnarray*}$

=)

trotzdem verstehe ich leider noch nicht wie du von

$\begin{eqnarray*} E( I_{\{f(Y) \leq X \}}\vert X=x) = P(f(Y) \leq x) \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} E( I_{\{f(Y) \leq X \}}\vert \mathcal{C})({\omega}^{*}) = P(f(Y) \leq X({\omega}^{*})) \end{eqnarray*}$

kommst.

danke + viele grüße!

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