Harmonische Reihe

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kev04 Auf diesen Beitrag antworten »
Harmonische Reihe
Meine Frage:
Wie kann man bestimmen ab welchem n in N die harmonische Reihe einen gewissen Wert übersteigt?

Meine Ideen:
Ich habe hier für bisher keinen Ansatz gefunden.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das kommt etwas darauf an, was du für Mittel zur Verfügung hast.
Wenn du noch nicht so viel hast, kannst du zB so abschätzen:

.

Wenn dir schon Integralrechnung zur Verfügung steht, kannst du das schon besser hinkriegen.

Edit: Man braucht sonst nicht unbedingt Integralrechnung. Man kann auch etwas mit der Ungleichung für alle anfangen. Dafür muss man dann aber schon ziemlich genau wissen, wo man hin möchte. Falls du das versuchen willst, schätze mal damit nach unten ab.

Edit: Kleine Korrektur in der Summendarstellung
kev04 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein leider steht mir die Integralrechnung noch nicht zur Verfügung.
Ehm wie kommst du auf diese (Un)gleichungen? Ich kann sie leider nicht nachvollziehen. Dachte man könnte jetzt (n-1)/2 nach n auflösen aber dabei kommt Stuss raus. Also die genaue Aufgabe lautet ab welchem N die N-te Partialsumme der harmonischen Reih größer 99 ist.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du zufällig, ob du das minimale N herausfinden sollst, für das das gilt oder nur irgendeines für das das gilt? Hierfür wäre evt. die gesamte Aufgabenstellung sinnvoll.


Zu der ersten Gleichung: Schreibe dir das mal für ein paar Beispiels n auf (1,2,3). Dann wirst du sehen, woher die Gleichheit kommt, man teilt die Summe quasi in Blöcke der Länge 2^j auf. Zuerst kommen die ersten 2 Summanden, dann die nächsten 4, dann die nächsten 8 usw. Die Ungleichung dahinter ist so ziemlich das brutalste, was man an der Stelle machen kann. Was ist denn in dieser hinteren Summe der kleinste Summand?
kev04 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich j=0 setzte dann kommt im Summand 1/2 raus oder?
Genau Aufgabenstellung lautet:
Bestimmen Sie eine Natürliche Zahl N, so dass die N-te Partialsumme der harmonischen Reihe größer als 99 ist, d.h. es soll gelten
>99
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wenn ich j=0 setzte dann kommt im Summand 1/2 raus oder?


ja.

Die Aufgabenstellung hört sich gut an. Dann brauchst du nicht das minimale (mir ist inzwischen auch aufgefallen, dass das ziemlich schwer zu bestimmen wäre ).
 
 
kev04 Auf diesen Beitrag antworten »

Also mir ist aufgefallen dass diese Päckchen d.h. diese 2^n Päckchen immer mind. 1/2 ergeben. Heißt das vill. dass ich 2^198 rechnen muss?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde auf jedenfall dann reichen Augenzwinkern
kev04 Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das jetzt dass das die Lösung ist oder habe ich jetzt einfach eine so enorm große Zahl genommen dass es einfach stimmen musste?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

nein, viel genauer bekommst du das am Anfang nicht. Was du noch machen könntest wäre folgendes:

. Also brauchst du sogar nur . Man braucht übrigens in der Tat sehr große Zahlen dafür, wenn auch nicht ganz soo große. So ist beispielsweise jede natürliche Zahl, die kleiner ist als noch zu klein (das ist auch schon eine sehr große Zahl, ungefähr ).
kev04 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke dir für deine Hilfe.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Falls dich interessiert, wie weit du daneben bist:

kev04 Auf diesen Beitrag antworten »

wow wie hast du das ausgerechnet? Mein Taschenrechner rechnet nicht mit so großen Zahlen.
Noch mal danke.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das funktioniert mit der präziseren Abschätzung, von der ich oben sprach.

Man bekommt damit raus, dass .

Das liefert insbesondere .

Den Taschenrechner braucht man dabei nur für , das schafft deiner bestimmt auch Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Will man die Genauigkeit noch weiter verbessern, muss man nur einfach diese Abschätzungen "später" einsetzen lassen:


Es bezeichne . Für ist



und folglich gilt durch Summation dieser Doppelungleichung sowie Hinzufügen des "Anfangsstücks" :

für alle .


Bereits für und somit heißt das (links noch weiter vergröbert):

.

Speziell für bedeutet dies

,

was sogar ergibt. Mit größeren kann man die Schere (*) sogar immer enger fassen:


Wählt man beispielsweise , so ist man (gerundet) bereits bei

für alle .
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