Varianz Schätzer

25.05.2014, 20:28

yoe

Varianz Schätzer

Ich möchte gerne die Varianz des Schätzers

T(X)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}( \min_{ 1 \leqslant i\leqslant n } X_i + \max_{1\leqslant i\leqslant n} X_i) \end{eqnarray*}$

Berechnen... Kann mir jemand helfen? smile

25.05.2014, 20:32

HAL 9000

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RE: Varianz Schätzer
Ohne jede Verteilungsannahme für die Grundgesamtheit, d.h. vollkommen nichtparametrisch?

25.05.2014, 20:35

yoe

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RE: Varianz Schätzer
Gleichverteilt auf[ $\begin{eqnarray*} \theta - \frac{1}{2}, \theta+ \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ] aber nicht iid

25.05.2014, 20:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von yoe
aber nicht iid

Die $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ sind nicht iid, also hier bei dir abhängig ??? Das ist doch aber die Grundannahme der mathematischen Statistik? geschockt

25.05.2014, 20:38

yoe

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meinst du ich kann einfach davon ausgehen dass sie iid sind auch wenn das da nicht steht?

25.05.2014, 20:41

HAL 9000

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Wenn $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ eine mathematische Stichprobe ist - wovon man ausgehen sollte, wenn von Teststatistiken/Schätzern die Rede ist - dann sind die iid, auch ohne dass es da steht. Augenzwinkern

25.05.2014, 20:48

yoe

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Ok, das ist logisch. Hab ich nicht dran gedacht. In meinem Hinweis steht aber ich soll für die Varianz die gemeinsame dichte von $\begin{eqnarray*} X_{(1)}, X_{(n)} mit X_{(i)} \end{eqnarray*}$ ordnungsstatistig bestimmen. wofür brauche ich das?

25.05.2014, 20:56

HAL 9000

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Naja, das sind ja Min und Max der Stichprobe, die tauchen ja im Schätzer auf - klar, dass du die brauchst!

Benennen wir erstmal der Kürze wegen $\begin{eqnarray*} Y = X_{(1)} = \min\limits_{1\leq i\leq n} X_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z = X_{(n)} = \max\limits_{1\leq i\leq n} X_i \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} \theta-\frac{1}{2}\leq y \leq z \leq \theta+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist dann

$\begin{eqnarray*} P(y\leq Y, Z\leq z) = P(y\leq X_1\leq z,\ldots,y\leq X_n\leq z) = (z-y)^n \end{eqnarray*}$ ,

mit $\begin{eqnarray*} y= \theta-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} P(Z\leq z) = \left(z-\theta+\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

und weiter

$\begin{eqnarray*} P(Y \leq y, Z\leq z) = P(Z\leq z) - P(y\leq Y, Z\leq z) = \left(z-\theta+\frac{1}{2}\right)^n - (z-y)^n \end{eqnarray*}$

und daraus dann die gemeinsame Dichte durch Ableitung nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f_{Y,Z}(y,z) = n(n-1)(z-y)^{n-2} \end{eqnarray*}$ .

Damit kannst du dann ja alles hübsch ausrechnen

$\begin{eqnarray*} \mu := E\left( \frac{Y+Z}{2} \right) = \int\limits_{\theta-\frac{1}{2}}^{\theta+\frac{1}{2}} \int\limits_{y}^{\theta+\frac{1}{2}} \frac{y+z}{2} \cdot f_{Y,Z}(y,z) ~ \dd z ~ \dd y \end{eqnarray*}$

bzw. dann auch die Varianz

$\begin{eqnarray*} E\left( \left( \frac{Y+Z}{2}-\mu \right)^2 \right)= \int\limits_{\theta-\frac{1}{2}}^{\theta+\frac{1}{2}} \int\limits_{y}^{\theta+\frac{1}{2}} \left( \frac{y+z}{2}-\mu \right)^2 \cdot f_{Y,Z}(y,z) ~ \dd z ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

25.05.2014, 20:59

yoe

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Ach krass danke smile

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