Jeder Vektor Eigenvektor einer Abbildung

26.05.2014, 02:28

supernova1604

Jeder Vektor Eigenvektor einer Abbildung

Hallo zusammen,
ich habe gerade Schwierigkeiten das Folgende zu zeigen:

Seien $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper, $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum und $\begin{eqnarray*} f\in L(V,V) \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie: Falls jeder Vektor $\begin{eqnarray*} v\in V \setminus \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \alpha\in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f=\alpha*id_v \end{eqnarray*}$ .

Ich hatte mit das Folgende überlegt:
Da alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ Eigenvektoren zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sind gilt erstmal $\begin{eqnarray*} f(v)=\lambda*v \end{eqnarray*}$ . Man kann ja aber nichts über die geometrische oder die algebraische Vielfachheit sagen, oder?
Das Einzige was mir einfällt sind die Eigenräume von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu den Eigenwerte. Der Eigenraum zum einen Eigenwert ist
$\begin{eqnarray*} V_\lambda=\left\{ v\in V| f(v)=\lambda*v\right\} = Kern \left(f-\lambda*id_v\right) \end{eqnarray*}$ .
Nun $\begin{eqnarray*} Kern \left(f-\lambda*id_v\right) \end{eqnarray*}$ geht schonmal in die Richtung. Das bezieht sich aber nur auf einem Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ .
Könnte mir vielleicht das charakteristische Polynom was bringen?
Bin mir sicher ich übersehe etwas Wichtiges. Über kleinen Tipp würde ich mich sehr freuen smile

26.05.2014, 07:44

bijektion

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Wenn alle $\begin{eqnarray*} v\in V \setminus \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ tatsächlich Eigenvektoren zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sind, dann gilt ja $\begin{eqnarray*} f(v)=\lambda \cdot v \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in V \setminus \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} kern( f- \lambda \cdot id)=V \end{eqnarray*}$ .

Haben denn wirklich alle $\begin{eqnarray*} v\in V \setminus \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ den Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

26.05.2014, 08:15

supernova1604

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So wie ich das vertehe sind alle $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ Eigenvektoren, was aber nicht bedeutet, dass sie zu einem Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ gehören (ich schreibe Index, damit es klar ist dass ich irgendeinen Eigenwert meine). Wäre das so, dann hätten wir direkt die Aussage, die man zeigen will. Deshalb gehe ich davon aus dass es beliebig viele Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ gibt. Genau das fand ich eben schwierig - nichts über die Eigenwerte und die dazugehörende Eigenvektoren zu wissen.
Oder ich irre mich gerade? Die Aufgabenstellung habe ich eins zu eins gepostet.

26.05.2014, 08:30

bijektion

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Zitat:

beliebig viele Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ gibt

Wirklich beliebig viele?

Wenn wir den Eigenwert zu $\begin{eqnarray*} \lambda _i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ bezeichnen, dann gilt immer $\begin{eqnarray*} f(v_i)=\lambda_i\cdot v_i \end{eqnarray*}$ .
Kann dann für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ gelten: $\begin{eqnarray*} f(v)-\alpha \cdot id(v)=0 \end{eqnarray*}$ ?

26.05.2014, 09:21

supernova1604

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Na ja, wäre $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ endlichdimensional, kann man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch eine quadratische $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ Matrix darstellen und die Nullstellen des charakteristische Polynoms bzw. die Eigenwerte wären dann höchstens $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Wenn der Vektorraum unendlich ist...da bin ich mir unsicher verwirrt

Wenn aber $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind, sind sie linear unabhängig. Aber ich denke das bringt mir nichts.

26.05.2014, 09:48

tmo

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Nach Voraussetzung ist die Summe zweier Eigenvektoren wieder ein Eigenvektor. Daraus folgt direkt, dass die Eigenwerte der beiden Eigenvektoren gleich gewesen sind.

27.05.2014, 12:20

supernova1604

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aber doch natürlich gillt die Aussage nur dann wenn alle Eigenvektoren einen Eigenwert haben. Ich hab die dann durch Widerspruch gezeigt indem ich angenommen habe, dass es zwei unterschiedliche Eigenwerte gibt mit Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ . Dann habe ich auch $\begin{eqnarray*} v+w \end{eqnarray*}$ betrachtet. Und dann kann man eben zeigen, dass die Eigenwerte der drei Vektoren gleich sind. Somit gilt ja auch die Aussage dann.

Danke nochmal für die Hilfe!!

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