Lineare Unabhängigkeit bei Zeilenstufenform beweisen

26.05.2014, 07:39

ohmann

Lineare Unabhängigkeit bei Zeilenstufenform beweisen

Ich finde derzeit bei einer Aufgabe keinen richtigen Ansatz.

"Seien $\begin{eqnarray*} v_{1}, ..., v_{m} \in K^{n} \end{eqnarray*}$ die Zeilenvektoren einer $\begin{eqnarray*} m \times n - \end{eqnarray*}$ Matrix, die keine Nullzeilen enthält. Zeigen Sie (z.B. durch Induktion), dass die Zeilenvektoren linear unabhängig sind."

Mein erster Gedanke war, dass eine Matrix ohne Nullzeilen ja einen vollen Rang besitzen muss, welcher die lineare Unabhängigkeit der Zeilenvektoren belegen würde, nur ist diese Argumentation ja leider kein wirklicher Beweis.

Mit dem Tipp über Induktion vorzugehen, kriege ich auch nur für eine $\begin{eqnarray*} n \times n - \end{eqnarray*}$ Matrix einen Ansatz. Wenn man in der letzten Zeile beginnt und in der Zeilenstufenform mit jeder Zeile einen neues Element hinzukommt, was nicht 0 ist, könnte ich mir vorstellen, es belegen zu können. Nur zerfällt dieser Ansatz auch wieder, wenn es um eine nicht-quadratische Matrix geht, bei der mehr als eines dieser Elemente hinzukommt.

26.05.2014, 07:58

bijektion

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Eine Induktion nach $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ist doch möglich.
Der IA sollte nicht schwerfallen, denn nach Voraussetzung, ist $\begin{eqnarray*} v_1\neq \vec 0 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt müssen wir uns überlegen, warum der Vektorzug nicht linear abhängig wird, wenn man einen weiteren hinzufügt. Hast du eine Idee warum das der Fall ist?
Und du solltest natürlich beachten, das die Aussage für $\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$ falsch ist.

26.05.2014, 08:28

ohmann

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Schonmal danke für die Antwort.

Wenn man mit dem untersten rechten Element anfängt, nehme ich an, dass der Induktionsanfang für ein LGS $\begin{eqnarray*} a_{mn} x_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ lauten müsste und man sich dann über $\begin{eqnarray*} a_{m-1n-1} x_{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$ bis zur ersten Zeile hocharbeitet. Und an der Stelle verstehe ich auch nicht ganz, warum es auch (wenn es denn richtig ist) für nicht quadratische Matrizen funktionieren würde, da in einer Zeile ja zwei Elemente ungleich 0 hinzukämen.

Ich verstehe weiterhin leider nicht, was genau mit einem Vektorzug gemeint ist bzw. was einem die grafische Darstellung für die Darstellung in einem Gleichungssystem verrät.

26.05.2014, 08:33

bijektion

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Zitat:

dass der Induktionsanfang für ein LGS $\begin{eqnarray*} a_{mn} x_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ lauten müsste und man sich dann über $\begin{eqnarray*} a_{m-1n-1} x_{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$ bis zur ersten Zeile

Warum denn das?

Du kannst die Induktion über ganze Zeilen machen: Wenn die Matrix eine Zeile hat, sind die Zeilen offenbar linear unabhängig, da $\begin{eqnarray*} v_i\neq \vec 0 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt füllen wir die Zeilen sukzessive mit den Vektoren auf und beachten dabei, das die Matrix keine Nullzeile enthält.

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