Beweis Summe aus konvergenter und divergenter Folge

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26.05.2014, 09:52	u44tmp	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Summe aus konvergenter und divergenter Folge Hallo an alle! Ich muss beweisen, dass die Summe aus einer konvergenten und einer divergenten Folge divergent ist. Leider weiß ich nicht, wie ich das überhaupt angehen soll :/ Mein Ansatz wäre ein Widerspruchsbeweis mit $\begin{eqnarray} \| a_{n} + b_{n} - (a+b)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ wobei a und b jeweils die Grenzwerte sind.
26.05.2014, 09:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss es unbedingt "Epsilontik" sein? Basierend auf der Eigenschaft, dass die Summe (bzw. Differenz) zweier konvergenter Folgen wieder eine konvergente Folge ist, lässt sich doch bereits ein sehr kurzer Widerspruchsbeweis formulieren.
26.05.2014, 10:03	u44tmp	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein muss es denke ich nicht. Die Aussage, die zu beweisen ist lautet konkret: Gelte $\begin{eqnarray} a_{n} -> unendlich, b_{n} -> b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray} a_{n}+b_{n} -> unendlich \end{eqnarray}$ leider weiß ich überhaupt nicht, wie ich da rangehen soll. Im Skript wird auf andere Regeln verwiesen (summe aus zwei konvergenten Folgen ist konvergent ezc.) Dies wurde jedoch alles mit Epsilon gemacht.
26.05.2014, 10:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das ist ja dann doch eine andere Aussage als oben: Die eine vorausgesetzte Folge ist also nicht beliebig divergent, sondern bestimmt divergent gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . Genauso dann die Behauptung: Auch nicht beliebig divergent, sondern dieselbe bestimmte Divergenz. Was bedeutet, dass der Beweis, den ich im Sinn hatte für "beliebige Divergenz" hier nicht mehr passt.
26.05.2014, 10:10	u44tmp	Auf diesen Beitrag antworten »
ok und wie gehe ich da ran?
26.05.2014, 10:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die Voraussetzung hinsichtlich $\begin{eqnarray} (b_n) \end{eqnarray}$ sogar abschwächen, und damit trotzdem noch die Behauptung nachweisen: Es reicht, wenn $\begin{eqnarray} (b_n) \end{eqnarray}$ nach unten beschränkt ist, d.h., es eine Zahl $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} b_n\geq u \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Vielleicht hilft dir das weiter.
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26.05.2014, 11:11	u44tmp	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht wirklich :/ geht das nicht mit dem Ansatz von oben?
26.05.2014, 11:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit deinen $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ -Abschätzungen kannst du vielleicht die Konvergenz widerlegen, damit hast du aber noch nicht die bestimmte Divergenz gezeigt - warum also nicht gleich letzteres angehen. Was bedeutet überhaupt bestimmte Divergenz gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ streng nach Definition?
26.05.2014, 13:12	u44tmp	Auf diesen Beitrag antworten »
naja das bedeutet doch, dass eine Funktion gegen unendlich divergiert, also nicht konvergiert und auch nicht gegen etwas anderes divergiert. Dann weiß ih aber absolut nicht, wie man den Beweis angehen soll.
26.05.2014, 13:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist wenig hilfreich - ich rede von der Definition!!! Also: $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ divergiert bestimmt gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ , wenn es für jede reelle Zahl $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ einen Index $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} a_n\geq K \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ gilt.
26.05.2014, 13:58	u44tmp	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Wie fängt man nun am besten an? Mache ich das mit einem Widerspruchsbeweis?
26.05.2014, 14:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde das anhand dieser Definition direkt beweisen, im Zusammenhang mit der von mir erwähnten Beschränktheit der konvergenten Folge $\begin{eqnarray} (b_n) \end{eqnarray}$ .
26.05.2014, 14:23	u44tmp	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir Starthilfe geben? Wie gesagt... Beweise sind nicht meins :/ Ich wüsse garnicht wirklich wie man anfangen sollte
26.05.2014, 14:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Starthilfe habe ich reichlich gegeben, was du anscheinend gar nicht mitkriegst. Es fehlt eigentlich nur noch das Zusammenbauen. Es muss bewiesen werden: Für jede reelle Zahl $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ gibt es einen Index $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} a_n + b_n\geq K \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ gilt. Es darf benutzt werden: 1) Für jede reelle Zahl $\begin{eqnarray} K' \end{eqnarray}$ gibt es einen Index $\begin{eqnarray} n_0' \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} a_n\geq K' \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0' \end{eqnarray}$ gilt. 2) Da $\begin{eqnarray} (b_n) \end{eqnarray}$ konvergiert, ist diese Folge u.a. auch nach unten beschränkt, d.h., es gibt eine reelle Zahl $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b_n\geq u \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -------------- Und damit folgender Beweis: Für jede reelle Zahl $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ nutzen wir Eigenschaft 1) mit $\begin{eqnarray} K'=K-u \end{eqnarray}$ : Damit gilt dann für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0' \end{eqnarray}$ verbunden mit Eigenschaft 2) $\begin{eqnarray} a_n + b_n \geq (K-u) + u = K \end{eqnarray}$ , d.h. wir haben mit $\begin{eqnarray} n_0=n_0' \end{eqnarray}$ einen passenden Index gefunden.
26.05.2014, 15:18	u44tmp	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wars schon? oh man... vielen Dank!

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