Zufallsvariablen

26.05.2014, 13:06

Stativa

Zufallsvariablen

Meine Frage:
Hallo,

ich beschäftige mich momentan mit Zufallsvariablen und verstehe nicht ganz, wie der Ausdruck $\begin{eqnarray*} P_{p} (X\leq x) \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Es geht um eine Erfolgswahrscheinlichkeit p und darum, dass X auf $\begin{eqnarray*} (\Omega, P_{p}) b_{n,p} \end{eqnarray*}$ -verteilt ist und x<n ist. Dann wird gesagt, dass $\begin{eqnarray*} P_{p} (X\leq x) \end{eqnarray*}$ als Funktion von p stetig ist, aber was bedeutet dieser Ausdruck?

Danke für jede Hilfe!
LG Stativa

Meine Ideen:
Der Ausdruck hat wohl etwas mit der Verteilung der Zufallsvariablen zu tun, aber warum ist der Index an P gerade p für die Erfolgswahrscheinlichkeit und warum wird $\begin{eqnarray*} X \leq x \end{eqnarray*}$ betrachtet?

26.05.2014, 13:26

HAL 9000

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Es wird nicht nur ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , sondern eine ganze Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ betrachtet: $\begin{eqnarray*} P_p \end{eqnarray*}$ hat nun gerade die Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ binomialverteilt $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ ist, d.h. dasselbe $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist Parameter der Binomialverteilung als auch Index der Familie von W-Maßen. Nach "warum" muss man da nicht fragen, das $\begin{eqnarray*} P_p \end{eqnarray*}$ ist in Zusammenhang mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eben so festgelegt.

26.05.2014, 16:47

Stativa

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Ok, danke, das mit dem Index hab ich verstanden.

Aber wie kann ich mir dieses $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ vorstellen? Das X steht doch für die Zufallsvariable und das x für einen beobachteten Wert bei dem Zufallsexperiment. Was sagt dann das $\begin{eqnarray*} P_{p}(X\leq x) \end{eqnarray*}$ aus?

Ich habe nochmal recherchiert und jetzt verstanden, dass das $\begin{eqnarray*} P_{p}(X\leq x) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt. Was genau ist dann hier x? Es müsste ja eigentlich richtig heißen $\begin{eqnarray*} X(\omega)\leq x \end{eqnarray*}$ , ist das richtig ? Das würde bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} P_{p}(X\leq x) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, mit der die Zufallsvariable X dem beobachteten $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ einen Wert kleiner oder gleich x zuweist, oder?

26.05.2014, 18:17

HAL 9000

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Fragen gibt's...

Zitat:

Original von Stativa
Was sagt dann das $\begin{eqnarray*} P_{p}(X\leq x) \end{eqnarray*}$ aus?

Ein Ausdruck wie $\begin{eqnarray*} P(X\leq x) \end{eqnarray*}$ ist dir noch nie begegnet??? Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X Werte annimmt, die $\begin{eqnarray*} \leq x \end{eqnarray*}$ sind - beiläufig bemerkt übrigens gleich dem Wert der Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , denn so ist die definiert.

Und hier bei $\begin{eqnarray*} P_p(X\leq x) \end{eqnarray*}$ kann man diesen Wahrscheinlichkeitswert bei festem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ natürlich auch als Funktion vom Parameter $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ auffassen, also im Sinne $\begin{eqnarray*} p\mapsto P_p(X\leq x) \end{eqnarray*}$ .
Dass das stetig ist, ist trivial: Die Einzelwahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} P_p(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

sind Polynome in $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und damit stetig. Und eine endliche Summe

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x) = \sum_{k:\;k\leq x} P(X=k) \end{eqnarray*}$

stetiger Funktionen ist natürlich auch wieder stetig.

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