Fragen Extremwertbeispiel 11

13.08.2004, 17:58

grybl

Fragen Extremwertbeispiel 11

Dieser Thread ist gedacht für Fragen, Tipps, Lösungsansätzen etc. zu Beispiel 11.

Bitte poste keine vollständigen Lösungen (du kannst sie mir per pn schicken), da ich diese dann löschen werde, denn jeder soll die Möglichkeit haben, selbständig einen richtigen Lösungsweg zu finden.

03.05.2005, 23:54

conni123

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Hi...
ich häng schon ewig an dieser Aufgabe fest... vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen..
Also meine Ansatz ist folgender...

erstmal Nullstellen ausrechen.. damit ich weiss über welche Fläche ich Integrieren muss.

$\begin{eqnarray*} 0=x*[t-(1-t)*x] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X01=0 \end{eqnarray*}$

ich komm für die zweite Nullstelle:

$\begin{eqnarray*} 0=t-(1-t)*x \end{eqnarray*}$
dann ist X02: $\begin{eqnarray*} \frac{t}{1-t} \end{eqnarray*}$
oder???
Naja ab da hab ich mir gedacht ich Integriere über diese Fläche mit den Nullstellen als Grenzen und erhalte als Ergebnis die Fläche unter der Kurve als Funktion von der Variable $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .
wäre das bis dahin richtig????

04.05.2005, 00:06

conni123

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kann das sein, dass das gar keine Extremwertaufgabe ist???
denn wenn ich in die Ursprungsfunktion für t beliebige Werte einsetze wird auch die Fläche immer größer...???

04.05.2005, 01:19

reima

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Hm, mit der Aufgabe stimmt wirklich was nicht. Der Flächeninhalt wird beliebig groß für t -> 1 bzw. t -> +- oo und beliebig klein für t -> 0

04.05.2005, 10:19

Egal

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Erstmal nochmal die Aufgabe damit alle wissen um was es geht und nicht erst suchen müssen:
$\begin{eqnarray*} f_t(x)=t\cdot x-(1-t)x^2 \qquad t\not=0,1 \end{eqnarray*}$
Gesucht ist nach dem t für das die Funktion maximalen Flächeninhalt mit der x-Achse einschliesst.

t=0 und t=1 sind verboten also können beide keine Lösung sein auch wenn für t->0 bzw t->1 evtl eine extremale Lösung entstehen würde.

04.05.2005, 10:51

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Richtig, da ist was gründlich daneben gegangen: Bei t=3 liegt nur ein lokales (nicht globales!) Minimum der Fläche vor.

04.05.2005, 11:06

Egal

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Mal noch was zur Illustration nachschieben:

04.05.2005, 17:38

grybl

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Zitat:

Richtig, da ist was gründlich daneben gegangen:

wieso? was denn?

gesucht ist die Funktion, die die größte Fläche mit der x-Achse einschließt und die ist $\begin{eqnarray*} f_3(x)=3\cdot x - (1-3)\cdot x^2=3x+2x^2 \end{eqnarray*}$

ist ein Beispiel aus einem Lehrbuch, find es im Moment nicht traurig

04.05.2005, 19:48

reima

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Zwei deutliche Gegenbeispiele, dass der Flächeninhalt für t=3 nicht maximal ist:

04.05.2005, 19:58

Mathespezialschüler

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@grybl
Dann lös doch die Aufgabe mal selber und stell die Fläche in Abhängigkeit von t dar! Dann lasse, wie hier gesagt, t mal gegen 0 gehen. Es ist halt t=3 wirklich nur ein lokales, aber kein globales Minimum wie oben schon gesagt.
@reima
Es geht ja jetzt eher um die Frage, ob 3 ein Minimum ist! Augenzwinkern

04.05.2005, 20:49

reima

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@reima
Es geht ja jetzt eher um die Frage, ob 3 ein Minimum ist! Augenzwinkern

Ich hab mich hierauf bezogen:

Zitat:

Original von grybl
gesucht ist die Funktion, die die größte Fläche mit der x-Achse einschließt und die ist $\begin{eqnarray*} f_3(x)=3\cdot x - (1-3)\cdot x^2=3x+2x^2 \end{eqnarray*}$

05.05.2005, 09:01

grybl

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pardon, ich hab mich "verschrieben", was sicherlich passieren kann.

ich meinte natürlich nicht maximalste Fläche, sondern dass die Fläche ein Extremwert wird und jeder der die Angabe

Zitat:

Für welchen Wert t wird der Inhalt der von der zugehörigen Kurve und der x - Achse eingeschlossenen Fläche ein Extremwert.

gelesen hat, wird das auch bemerkt haben.

Wie schon gesagt, habe ich das Beispiel nicht erfunden, sondern nur hier reingestellt.

Dem Aufgabensteller (Schulbuch aus Ö) geht es hier mMn darum, dass man die Funktion korrekt zwischen den passenden Grenzen integriert und dann einen Extremwert der "neuen" Funktion in der Variablen t sucht. Sonst nichts.

@MSS:wir hatten doch schon an anderer Stelle darüber geprochen verwirrt

05.05.2005, 11:33

Mathespezialschüler

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Ja, richtig.
Aber genau genommen ist ein Extremwert ein Funktionswert, der extrem wird, also ein globaler Extremwert. Soll heißen, dass ein Minimalwert der kleinste Funktionswert, der angenommen wird, ist. Für diesen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ muss aber nicht $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ gelten. Der Funktionswert für t=0 ist 0. Da die Zielfunktion (mit t=0) aber stetig ist, nimmt sie für $\begin{eqnarray*} t\to 0 \end{eqnarray*}$ jeden noch so betragsmäßig kleinen positiven Wert an! Sei f(t) die Zielfunktion, dann haben wir folgende Lage:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to -\infty}f(t)=-\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0}f(t)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 1}f(t)=+\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(3)=\frac{9}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to +\infty}f(t)=+\infty \end{eqnarray*}$

f(t) nimmt sogar jeden reellen Wert an außer 0. Insbesondere wird f beliebig klein und auch beliebig groß. 4,5 ist aber keineswegs ein Minimalwert, es ist nur ein lokales Minimum (was das ist, dürfte klar sein). Es gibt ja noch viel kleinere Werte: 0,003512 oder -5431 oder -965217256386326356826!!! Und die nimmt die Funktion auch an.
Ich zeig dir nochmal den Funktionsgraphen, auch wenn Egal das oben schon gemacht hat. Da siehst du dann auch die Grenzwertaussagen und dass es noch kleinere Werte als 4,5 gibt:

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