Stichprobe

26.05.2014, 22:38

falcon

Stichprobe

Meine Frage:
Guten Abend,
wir hatten heute in Stochastik das Thema Stichproben.
Ich verstehe nicht so genau, wie das alles Funktioniert, wenn man eine Stichprobe aus einer Normalverteilung entnimmt.
Genauer zu sein, geht es um die folgende Aufgabe:
Das Körpergewicht sei Normalverteilt mit $\begin{eqnarray*} \mu = 60 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma = 6 \end{eqnarray*}$ . Man entnimmt eine Stichprobe von n = 6.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das mittlere Körpergewicht der Stichprobe größer als 65kg?

Meine Ideen:
Also wenn ich mit der normalen Formel der Normalverteilung rechne, habe ich ja P(X>65) = $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (( $\begin{eqnarray*} x- \mu \end{eqnarray*}$ ) / $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (5/6)
Aber dann kommt n=6 nicht zum Einsatz ....
Könnt ihr mir sagen, was hier falsch ist?

26.05.2014, 22:58

Dopap

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RE: Stichprobe
dein
P(X>65) = $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (( $\begin{eqnarray*} x- \mu \end{eqnarray*}$ ) / $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (5/6)

das ist zweifach falsch.

1.) es müsste $\begin{eqnarray*} P(X>65) =1-p(X\leq 65)=1-\Phi (\tfrac 5 6) \end{eqnarray*}$ sein.

das gilt für ein einzelnes Stichprobenexemplar !

2.) die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} \overline X \end{eqnarray*}$ = Mittelwert hat denselben Erwartungswert ( logisch !) nur muss die Varianz logischerweise kleiner werden.

Also: $\begin{eqnarray*} V(\overline X)= \frac {V(X)}{n} \end{eqnarray*}$

26.05.2014, 23:10

falcon

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ähhhh, ist V(X) = 36 ?
irgendwie kommt mir das extrem falsch vor...

26.05.2014, 23:16

Dopap

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in Standardabweichungen eben:

$\begin{eqnarray*} \sigma_{\overline X}=\frac {6}{\sqrt 6} \approx 2.45 \end{eqnarray*}$

und was ist daran unwahrscheinlich ?

26.05.2014, 23:44

falcon

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aber wieso denn jetzt eigentlich die Standardabweichung bzw. Varianz?

26.05.2014, 23:54

Dopap

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RE: Stichprobe
ich verstehe nicht was du meinst, aber vielleicht hilft das:

$\begin{eqnarray*} P(\overline X>65) =1-p(\overline X\leq 65)=1-\Phi (\tfrac {5}{2.45}) \end{eqnarray*}$

27.05.2014, 00:10

falcon

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ah ich glaube ich habe die Formel gefunden!
Die 2,45 ist doch Wurzel 6, oder?
Aber wieso steht da oben 5?

27.05.2014, 00:15

falcon

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und was passiert mit $\begin{eqnarray*} \mu = 60 \end{eqnarray*}$ ? Also wo muss ich das einsetzen?

27.05.2014, 11:04

Dopap

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RE: Stichprobe

Zitat:

Original von falcon
Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (( $\begin{eqnarray*} x- \mu \end{eqnarray*}$ ) / $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (5/6)

Du hattest es doch schon mal richtig geschrieben, nur das $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ändert sich:

$\begin{eqnarray*} \Phi (\frac {x-\mu_{\overline X}}{\sigma_{\overline X}})=\Phi (\frac {65-60}{2.45}) \end{eqnarray*}$

27.05.2014, 15:07

falcon

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ach so, jetzt habe ich die Formel verstanden....

d.h ich müsste jetzt in der Verteilungstabelle nach Phi(2,04) nach gucken, das ist 0,9793, also die Wahrscheinlichkeit ist 2,07%

27.05.2014, 15:36

Dopap

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ja, so ist es richtig smile

27.05.2014, 15:49

falcon

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ok, danke!

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