Stoffwechselkrankheit

27.05.2014, 11:21	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Stoffwechselkrankheit Über eine bestimmte Stoffwechselkrankheit ist bekannt, dass sie ca. eine von 150 Personen befällt. Ein recht zuverlässiger Test fällt bei tatsächlich erkrankten Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von 97 % positiv aus. Bei Personen, die nicht krank sind, fällt er mit 95 % Wahrscheinlichkeit negativ aus. a) Jemand lässt sich testen und erhält ein positives Resultat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er tatsächlich erkrankt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem negativen Ergebnis tatsächlich nicht erkrankt ist? c) Welche Ergebnisse würde man bei a) erhalten, wenn die Krankheit nur eine von 1500 Personen befällt? Ideen: $\begin{eqnarray} K: "\text{Person ist krank}" \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T:"\text{Test fällt positiv aus}" \end{eqnarray}$ Aufgabe a) $\begin{eqnarray} Gesucht: P_{T}(K) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Ansatz: P(T \cap K)=P(K \cap T) \\ P(T) \cdot P_{T}(K)=P(K) \cdot P_{K}(T) \\ \Rightarrow P_{T}(K)=\frac{P(K) \cdot P_{K}(T)}{P(T)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_{T}(K)=\frac{\frac{1}{150} \cdot 0.97}{\left(1-\frac{1}{150}\right) \cdot 0.05 + \frac{1}{150} \cdot 0.97} \end{eqnarray}$ Aufgabe b) $\begin{eqnarray} Gesucht: P_{\overline{T}}(\overline{K}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Ansatz: P(\overline{T} \cap \overline{K} )=P(\overline{K} \cap \overline{T} ) \\ P(\overline{T} ) \cdot P_{\overline{T} }(\overline{K})=P(\overline{K}) \cdot P_{\overline{K}}(\overline{T} ) \\ \Rightarrow P_{\overline{T} }(\overline{K})=\frac{P(\overline{K}) \cdot P_{\overline{K}}(\overline{T} )}{P(\overline{T} )} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_{\overline{T} }(\overline{K} )=\frac{\left(1-\frac{1}{150}\right) \cdot 0.95}{\left(1-\frac{1}{150}\right) \cdot 0.95 + \frac{1}{150} \cdot 0.03} \end{eqnarray}$ Aufgabe c) $\begin{eqnarray} Gesucht: P_{T}(K) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Ansatz: P(T \cap K)=P(K \cap T) \\ P(T) \cdot P_{T}(K)=P(K) \cdot P_{K}(T) \\ \Rightarrow P_{T}(K)=\frac{P(K) \cdot P_{K}(T)}{P(T)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_{T}(K)=\frac{\frac{1}{1500} \cdot 0.97}{\left(1-\frac{1}{1500}\right) \cdot 0.05 + \frac{1}{1500} \cdot 0.97} \end{eqnarray}$ Vielen Dank
27.05.2014, 13:05	Incognita	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, alles richtig! (Sonst hätte ich dir auch gar nicht anworten können, weil ich gleich wieder weg muss )
27.05.2014, 13:07	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhu. Vielen Dank.

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