Konvergenz einer Reihe - So richtig?

27.05.2014, 17:06

Schattenklinge

Konvergenz einer Reihe - So richtig?

Hi,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^{2n}} \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich hier die KOnvergenz?
Ich habe mir gedacht:

man kann ja die n-te Wurzel daraus ziehen, dann hat man: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n^2} \end{eqnarray*}$

Das ist ja bekanntlich eine Nullfolge, und die konvergiert auch als Reihe. Weiterhin konvergiert sie nur für n>1, da 3/1 = 3 und 3 ist die Ungleichung 0 >= 3 > 1 ist falsch. Für n>1 ist das richtig, reicht das so zu argumentieren nach dem Wurzel-Kriterium?

27.05.2014, 17:09

bijektion

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Es ist doch, wie du richtig sagst $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n} < \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n>4 \end{eqnarray*}$ .
Konvergenz brauchen wir gar nicht, die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{4})^n \end{eqnarray*}$ majorisiert die gegebene smile

28.05.2014, 10:38

Schattenklinge

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Ah ok, also muss ich über Majorante argumentieren?

Noch eine Frage allgemeiner:

Wie sehe ich was ich über Majorante/Quotienten oder Wurzelkriterium beweisen kann?
Ich meine... Leibniz ist ja klar, aber die anderen? Muss ich alle durchprüfen?

28.05.2014, 10:43

bijektion

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Zitat:

Wie sehe ich was ich über Majorante/Quotienten oder Wurzelkriterium beweisen kann?

Man kann zeigen, dass das WUrzelkriterium stärker als das Quotientenkriterium ist, d.h. selbst wenn das Quotientenkriterium $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ auswirft, kann das Wurzelkriterium immer noch Konvergenz zeigen, andersherum geht das nicht.
Aber Wurzel- und Quotientenkriterium geben dir nur eine geometrische Majoranten aus- zumindest wenn die Reihe konvergiert.

28.05.2014, 11:12

Schattenklinge

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Wie siehst du, dass die hier:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{4})^n \end{eqnarray*}$

die gegebene majorisiert?

D.h. die gegebene konvergiert absolut?

28.05.2014, 11:14

bijektion

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Das ist Quotientenkriterium. Was muss denn gelten, damit eine Reihe nach dem Quotientenkriterium konvergiert?

Zitat:

D.h. die gegebene konvergiert absolut?

Sowieso, die enthält nicht ein einziges negatives Glied Augenzwinkern

28.05.2014, 11:58

Schattenklinge

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na es muss gelten dass 0 >= q > 1 ist und noch | an+1 / an |...

Die Frage ist, muss ich das hier nachweisen?

28.05.2014, 12:03

bijektion

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Nein, das ist nur interessant, wenn du wissen willst, wie man auf die Majorante kommt.

28.05.2014, 12:21

Schattenklinge

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Zitat:

Original von bijektion
Es ist doch, wie du richtig sagst $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n} < \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n>4 \end{eqnarray*}$ .
Konvergenz brauchen wir gar nicht, die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{4})^n \end{eqnarray*}$ majorisiert die gegebene smile

Also wäre ich nach dem Schritt, die n-te Wurzel zu ziehen und dann zu sagen für n > 1 konvergiert die Reihe fertig? Wegen was denn? Leuchtet mir gerade noch nicht so ein...

Oder ich hab gerade ne fette Denkblockade...

28.05.2014, 12:34

bijektion

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Welche Reihe? Das $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{4})^n \end{eqnarray*}$ konvergiert sollte außer Frage stehen.
Und nein, nicht für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ , das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist doch der Laufindex. Wenn für $\begin{eqnarray*} n>4 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n} < \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist der Grenzwert sicher auch kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ , ist aber auch egal, wir brauchen nämlich nur eine Schranke kleiner $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , und das ist etwa $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ .

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