Fakultät von -0,5

28.05.2014, 05:00

Zahlen-Schach

Fakultät von -0,5

Hallo,
mein Taschenrechner spuckt bei einer bestimmten Rechnung ein lustiges Ergebnis aus.
Wenn ich (-0,5)! rechne, zeigt er mir als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi } \end{eqnarray*}$ an.
Dabei kann man doch eigentlich nur von natürlichen Zahlen eine Fakultät bilden.
Hat sich hier also ein Programmierer einen Scherz erlaubt, oder ist das mathematisch korrekt?

Danke für eure Antworten.

Ich war mir bei dem Thema extrem unsicher, schiebt die Frage ruhig woanders hin, wenn sie hier nicht passt.

Meine Ideen:

Angenommen, auch in diesem Fall wird die Fakultät als Produkt mehrerer Zahlen, die ich jetzt einfach mal $\begin{eqnarray*} a_{1}, a_{2},... a_{n} \end{eqnarray*}$ nenne, gebildet. Dann kann man das ganze ja quadrieren und weiß, dass man Zahlen sucht, deren Quadrate miteinander multipliziert gleich $\begin{eqnarray*} {\pi } \end{eqnarray*}$ ist. Dann weiß ich allerdings nicht weiter.

28.05.2014, 07:18

bijektion

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Zitat:

Hat sich hier also ein Programmierer einen Scherz erlaubt, oder ist das mathematisch korrekt?

Das ist natürlich mathematisch korrekt. Unter zuhilfenahme der $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ -Funktion kann die Fakultät solcher Zahlen berechnet werden smile

29.05.2014, 00:49

Zahlen-Schach

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Ok, danke, so ganz versteh ich das trotzdem nicht.
Hier mal, was ich inzwischen so versucht habe:
Nachdem ich mal Gammafunktion bei Wikipedia eingegeben habe, hab ich folgendes gefunden:
$\begin{eqnarray*} \Gamma(n+1)=n! \end{eqnarray*}$ . Also müsste $\begin{eqnarray*} \Gamma(0,5)=\sqrt\pi \end{eqnarray*}$ .
Laut Wikipedia gilt für alle positiven, reellen Zahlen n: $\begin{eqnarray*} \Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}\cdot e^{-t}dt \end{eqnarray*}$ , aber wie komme ich jetzt weiter?
Wenn ich diese Funktion von meinem Taschenrechner zeichnen lasse, sehe ich, dass die Fläche nicht übermäßig groß ist, auch ein Integral von z.B. 0,001 bis 100 liegt sehr nah an $\begin{eqnarray*} \sqrt\pi \end{eqnarray*}$ , doch für Null erhalte ich keinen Wert, wie kann ich dann überhaupt das Integral ausrechnen?
Ich hab mich an der partiellen Integration versucht - leider ohne Erfolg.

29.05.2014, 09:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Zahlen-Schach
doch für Null erhalte ich keinen Wert, wie kann ich dann überhaupt das Integral ausrechnen?

Bei normalen Riemann-Integralen hättest du mit diesem Einwand durchaus Recht.

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty}t^{x-1}\cdot e^{-t} ~ \dd t \end{eqnarray*}$ ist ein uneigentliches Integral, und das nicht nur in Bezug auf die obere Grenze $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ - wo das selbstverständlich so ist - sondern im Fall $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ auch auf die untere Grenze 0. Eine Polstelle des Integranden bei 0 ist da also nicht notwendig ein Hinderungsgrund für die Existenz des Integrals.

Zitat:

Original von Zahlen-Schach
Ich hab mich an der partiellen Integration versucht - leider ohne Erfolg.

Tja, so einfach ist es eben nicht.

29.05.2014, 18:08

Zahlen-Schach

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Zitat:

Original von HAL 9000
Tja, so einfach ist es eben nicht.

Ok, und wie würde es dann gehen?

Für die untere Grenze des Integrals müsste ich ja dann einen Limes gegen Null aus positiver Richtung verwenden, und für die obere einen gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Aber ich verstehe trotzdem noch lange nicht, wieso genau $\begin{eqnarray*} \sqrt\pi \end{eqnarray*}$ rauskommt.

29.05.2014, 18:30

ollie3

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hallo,
das kann man herleiten mit der formel
$\begin{eqnarray*} \Gamma(x) \Gamma(1-x)=\frac{\pi}{sin(\pi\cdot x)} \end{eqnarray*}$ , wenn man
dort x=1/2 einsetzt.
gruss ollie3

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