Epsilon-Delta Kriterium

28.05.2014, 09:19

u44tmp

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Epsilon-Delta Kriterium

Hi! Ich müsste zwei Aufgaben mit dem Epsilon Delta Kriterium bearbeiten und wollte diesbezüglich mal nachhaken.

1. Ich soll zeigen, dass die Funktion f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , f(x)=x³ stetig bei $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ = 1 ist.
Dazu soll man die 1 einsetzen und Delta so bestimmen, dass wenn x nur delta weit von 1 entfernt ist, f(x) nur epsilon weit von f(x0)=1 entfernt ist.

2. Ich soll zeigen, dass die Funktion sgn unstetig bei $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ = 0 ist.

zu 1: Ich habe folgendes

Sei 0 $\begin{eqnarray*} \leq x_{0} \leq \end{eqnarray*}$ 1
|x³-1|< $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$
x³-1< $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$
x*x²-1< $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$
x-1< $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{x²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\epsilon}{x²} \end{eqnarray*}$

zu 2:
Ich weiß nicht so recht, wie ich die Signum Funktion darstellen soll. Hier muss ich ja einen "Gegenbeweis" erbringen, aber wie soll die Funktion aussehen?

|sgn(x)-0|< $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ?

28.05.2014, 09:31

bijektion

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1)

Zitat:

Sei 0 $\begin{eqnarray*} \leq x_{0} \leq \end{eqnarray*}$ 1

Soll nicht die Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ betrachtet werden? verwirrt

verwirrt

Zitat:

x³-1< $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

Wo ist der Betrag hin?

2)

Zitat:

|sgn(x)-0|< $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ?

Du musst zeigen, das es ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt, zu dem es keine passende $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung gibt. Wie groß ist denn der Sprung bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ?

28.05.2014, 09:50

u44tmp

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ups tut mir leid. Ich meinte 0 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ x

naja dadurch, dass x großer-gleich 1 ist, wird das Ergebnis ja positiv weswegen die Betragsstriche weggelassen werden können, oder täusche ich mich da?

zu 2)

Ist der Sprung nicht 1 ?

28.05.2014, 10:04

bijektion

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1)

Zitat:

Ich meinte 0 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ x

Aber warum?
Du musst erstmal $\begin{eqnarray*} |x^3-1| \end{eqnarray*}$ geeignet abschätzen, dafür gibts ja die geometrische Summenformel Augenzwinkern

Augenzwinkern

2) Vermutlich, also für mich ist $\begin{eqnarray*} sgn :\mathbb{R}\to \mathbb{R}, x \mapsto \begin{cases}<br /> 1 & x>0 \\<br /> 0 & x=0 \\<br /> -1 & x<0 \\<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Dann wähle doch etwa mal $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

28.05.2014, 10:12

u44tmp

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Dachte man kann das einfach festlegen.
achso geht das hier so einfach mit Summenformel? Ich weiß doch nichts über x und ob x kleiner 1 ist.

Das wäre ja sonst

| $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ -1| < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und weiter:

| $\begin{eqnarray*} \frac{1-(1-x)}{1-x} \end{eqnarray*}$ |< $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

| $\begin{eqnarray*} \frac{x}{1-x} \end{eqnarray*}$ |< $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

zu 2)

Das verstehe ich nicht ganz. Epsilon soll ja beliebig sein. Wenn ich jetzt probehalber dafür 1/2 einsetze, dann hab ich ja nur, dass |sgn(x)| < 1/2 ist, was ja sein kann ,wenn wir uns im Bereich <0 bewegen.

28.05.2014, 10:20

bijektion

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1) Das hast du jetzt etwas anders gemacht als ich das meinte, und scheinbar auch nicht richtig.
Es ist $\begin{eqnarray*} x^3-1 = (x-1)\cdot (x^2+x+1) \end{eqnarray*}$ , das folgt auch aus der geometrischen Summenformel. Jetzt hast du schonmal ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ und musst nur noch $\begin{eqnarray*} |x^2+x+1| \end{eqnarray*}$ abschätzen.

2) Wir wollen aber zeigen das $\begin{eqnarray*} sgn \end{eqnarray*}$ unstetig ist. Und deshalb müssen wir zeigen: $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon >0 \forall \delta >0 : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\geq \epsilon \end{eqnarray*}$
(Natürlich mit $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f=sgn \end{eqnarray*}$ ).

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28.05.2014, 10:32

u44tmp

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achso alles klar!

Wann kann ich die Betragsstriche weglassen? Um Delta zu bekommen muss ich doch teilen und erhalte dann $\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{x²+x+1} \end{eqnarray*}$

und das kann ich doch abschätzen zu $\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{x²} \end{eqnarray*}$ oder?

zu 2)

Achso... da es ein Gegenbeweis ist muss man also nur ein Epsilon finden, was nicht dazu gehört, richtig?

Da weiß ich aber immernoch nicht so recht was man da tun soll... Dadurch, dass die Stelle gleich Null ist, kann ich das ja weglassen. Dann bräuchte ich doch ein x auf der linken Seite, welches aber an sgn gebunden ist.

28.05.2014, 10:40

bijektion

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1) Gar nichts teilen erstmal. Wir haben schon $\begin{eqnarray*} |x^3-1|=|x-1|\cdot |x^2+x+1| \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du nur noch $\begin{eqnarray*} |x^2+x+1|\leq \dots \end{eqnarray*}$ abschätzen smile

smile

2) Das die Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ist, ist wunderbar. Für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist sicher immer $\begin{eqnarray*} |sgn(x)|=1 \end{eqnarray*}$ oder?

28.05.2014, 10:53

u44tmp

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1) Ich muss das nach oben abschätzen? Dachte eigentlich nach unten, damit es immernoch kleiner als Delta ist. Nach oben wäre das dann wohl 2x²+1.

2) Achso ok ich hatte falsch gedacht -_-
Ja klar, da es der Betrag ist. Naja wenn ich jetzt aber |sgn(x)| als 1 annehme dann erhalte ich doch dass 1-0 = 1 kleiner/gleich 1/2 ist und dann bin ich schon fertig?

28.05.2014, 11:11

bijektion

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1) Darum gehts doch auch smile

smile

2)

Augenzwinkern

28.05.2014, 11:18

u44tmp

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Achso ok also nach oben abschätzen, so dass es größer wird und immernoch kleiner als Delta ist?

Wie komme ich dann weiter?
Ich habe dann:

|x-1|*|2x²+1| < Delta

Muss ich jetzt durch |2x²+1| teilen?

Bzw. was mir noch nicht ganz klar ist. Ich hatte an einem Beispiel gesehen, dass quasi umgeformt wird bis auf der linken Seite |x- $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ | steht und auf der rechten Seite irgendetwas mit Epsilon (z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon^{2} }*\sqrt{2x} \end{eqnarray*}$ )
Dann wurde einfach gesagt, der rechte Ausdruck sei Delta. Oder muss ich sobald auf der linken Seite |x- $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ | auftaucht (in welcher Form auch immer) auf der rechten Seite die Epsilons mit Deltas ersetzen?

28.05.2014, 11:31

bijektion

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Man setzt eigentlich voraus das (1) $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ ist, dann schätzt man $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)| \end{eqnarray*}$ immer weiter ab und ersetzt jedes mal $\begin{eqnarray*} |x-x_0| \end{eqnarray*}$ mit der Abschätzung (1).
Am Ende muss man ja ein $\begin{eqnarray*} \delta=\delta(\epsilon ,x_0) \end{eqnarray*}$ angegeben.

28.05.2014, 11:38

u44tmp

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was bedeutet jedesmal?
Wie wäre das z.B. bei dieser Aufgabe korrekt aufgeschrieben?
Muss man da jetzt teilen um weiterzukommen?

28.05.2014, 11:44

bijektion

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Es kann ja sein das $\begin{eqnarray*} |x-x_0| \end{eqnarray*}$ öfter mal vorkommt.
Nein nicht teilen, du kannst z.B. mal eine Null addieren und die Dreiecksungleichung nutzen.

28.05.2014, 11:52

u44tmp

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Verstehe ich noch nicht so ganz. Meinst du, dass sobald $\begin{eqnarray*} |x-x_{0}| \end{eqnarray*}$ auftaucht, die rechte Seite durch Delta ersetzt wird?

Null addieren?
An welcher Stelle? Ich steh gerade auf dem Schlauch... tut mir leid!

28.05.2014, 12:06

u44tmp

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bzw. ich weiß nicht ganz wie ich mit der Dreiecksungleichung genau weiter kommen soll.

28.05.2014, 12:45

u44tmp

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also formal aufgeschrieben wäre das nun:

|f(x)-f( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ )| < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$
= |x³-1| < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$
= |x-1|*|x²+x+1| < $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |x-1|*|2x²+1| < $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$

28.05.2014, 21:03

u44tmp

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Kann keiner weiterhelfen? unglücklich

unglücklich

29.05.2014, 13:21

u44tmp

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Die einzige Möglichkeit, die ich sehe, wäre die Null bei

|x-1+0|*|2x²+1| zu addieren und dann mittels Dreiecksungleichung auf
|x-1| + |0|*|2x²+1| zu kommen, was aber die Abschätzung oben zunichte machen würde.

dann wäre das Ergebnis ja:

|x-1| < Delta

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