Matrizen

29.05.2014, 14:18

dharma

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Matrizen

Meine Frage:

Zitat:

Original von dharma
Meine Frage:
Komme bei folgenden Aufgaben nicht voran, da ich mir kein Reim drauf finden kann.
Determinanten berechnen:
1.) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{3} & \sqrt{5} & \sqrt{3} \\ 2-\sqrt{5} & \sqrt{21} & \sqrt{10} & -2\sqrt{3} \\ \sqrt{10} & 2\sqrt{15} & 5 & \sqrt{6} \\ 2 & 2\sqrt{6} & \sqrt{10} & \sqrt{15} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Könnte mir jmd den Rechenweg erläutern? Vielen Dank im voraus!

Meine Ideen:
Ich poste es hier nochmal, weil ich auf meine Beitrag leider keine richtige Hilfe bekommen konnte. Vielleicht kann mir jemand jetzt helfen

29.05.2014, 14:21

bijektion

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Hast du denn schonmal eine Idee?

29.05.2014, 15:18

dharma

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Mir wurde im anderen Post Sarrus Regel vorgeschlagen. Aber ich weiß nicht wie ich das auf die 4x4 Matrize in 1.) anwenden soll? Und zu zwei bin ich völlig ratlos unglücklich

unglücklich

29.05.2014, 17:04

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zu 2) Zieh von der letzte Zeile die erste Zeile ab

29.05.2014, 17:13

dharma

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In der letzten Zeile würde dann, wenn ich richtig liege,
0 0 0 0 -1 stehen. Also nicht lösbar, oder?

29.05.2014, 17:36

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Zitat:

Original von dharma
Also nicht lösbar, oder?

Was soll das bedeuten? Du sollst die Determinante berechnen, was gibt es da zu lösen?

Und ja, die letzte Zeile sieht so aus, wie du geschrieben hast. Nach der Zeile entwickelst du jetzt.
Aber bevor du wild drauf los rechnest, schau dir die 4x4-Matrix links oben an und vergleiche mit der Ausgangsmatrix.

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29.05.2014, 18:11

dharma

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hm...was meinst du exakt 'nach der letzten Zeile entwickeln' ? Und was soll mir zwischen neuer Matrix und Ausgangsmatrix genaues auffallen ?

29.05.2014, 18:27

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Anwendung des Laplaceschen Entwicklungssatzes. Wie sonst sollst du denn die Determinanten berechnen? verwirrt

verwirrt

Wenn dir die strukturelle Änlichkeit nicht auffällt, dann bleibt nur rechnen.

29.05.2014, 18:31

dharma

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Da ist das Problem. Uns wurde Laplace nicht vorgestellt, weshalb ich auch im dunklen tappe.

29.05.2014, 18:34

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Welche Methode zur Determinantenberechnung kennst du denn sonst?

29.05.2014, 18:50

dharma

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Ich bin lediglich in der Lage 2x2, 3x3 Matrizen zu lösen. 3x3 wurde uns vor allem mit Sarrus beigebracht.
bei 4x4 und höher kann ich einfach keinen Ansatzweg finden. Also ein konkretes Vorgehen ist mir schleierhaft. Deshalb weiß ich auch nicht, was die Subtraktion bei 2.) der 2ten Spalte von der 1ten bewirken sollte bzw. welche Auffälligkeit dabei entsteht/besteht.

29.05.2014, 19:05

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Kannst du wenigstens die Determinanten einer Diagonalmatrix oder einer Dreiecksmatrix berechnen?
Edit: und ist dir bekannt, dass sich der Wert der Derterminante nicht ändert, wenn man ein Vielfaches einer Zeile der Matrix zu einer anderen Zeile addiert?

29.05.2014, 19:10

dharma

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|A| = a11 * a22 . . . * ann. Gilt für Dreiecksmatrizen. Aber für 2.) würde da doch dann 1 * 0 * 0 * 0 * 0 rauskommen?

Antwort auf dein Edit: Ja, ist mir bekannt.

29.05.2014, 19:18

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Dann bleibt dir wohl nichts anderes übrig, als die Matrizen durch solche Umformungen auf Dreiecksgestalt zu bringen. Letztlich also Anwendung des Gauß-Algorithmus, den man sonst zur Lösung von LGS verwendet.
Und nein, 2) ist noch nicht in Dreicks- oder Diagonalgestalt. Wenn du aber die erste Zeile der Reihe nach von allen anderen Zeilen abziehst, sieht es besser aus.

29.05.2014, 19:21

dharma

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Okay. Habe dann für 2.) 1 rausbekommen. Einen Ansatz wie ich bei 1.) vorgehen muss?

29.05.2014, 19:33

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Ergbnis für 2) ist richtig.
Sicher, dass die Matrix in 1) so stimmt? $\begin{eqnarray*} 2-\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ in der zweiten Zeile will nicht so recht ins Schema passen. Viell gibt es eine clevere Kombination, aber ich sehe sie nicht.

29.05.2014, 20:38

HAL 9000

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Zu 1) Man kann ja erstmal von der dritten Zeile das $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ -fache der ersten Zeile, und von der vierten Zeile das $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ -fache der ersten Zeile abziehen, dann entstehen schon mal ordentlich viele Nullen.

29.05.2014, 20:55

dharma

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Die Zahlen sind alle korrekt

29.05.2014, 22:02

dharma

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-43.45 wird wohl nicht korrekt sein, oder?

29.05.2014, 22:58

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Die Software sagt -45
Ohne Gewähr smile

smile

29.05.2014, 23:01

dharma

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hm..das ist echt schwere Aufgabe. Weiß nicht, wo der Fehler ist. unglücklich

unglücklich

30.05.2014, 08:22

HAL 9000

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-45 ist richtig. Ich wiederhole nochmal:

Zitat:

Original von HAL 9000
Man kann ja erstmal von der dritten Zeile das $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ -fache der ersten Zeile, und von der vierten Zeile das $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ -fache der ersten Zeile abziehen, dann entstehen schon mal ordentlich viele Nullen.

01.06.2014, 15:34

dharma

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Sollten mir diese Nullen ausreichen oder muss ich noch welche erzeugen? Wenn ich das so rechne wie du vorschlägst, kriege ich in der ersten und dritten Spalte je zwei Nullen raus. Soll ich dann so bereits entwickeln oder irgendwie noch eine erzeugen?

01.06.2014, 21:42

dharma

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Kann mir niemand den Rechenweg ansatzweise nach dem entwickeln erläutern? :/

02.06.2014, 11:01

HAL 9000

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Naja, es war der Anfang:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{3} & \sqrt{5} & \sqrt{3} \\ 2-\sqrt{5} & \sqrt{21} & \sqrt{10} & -2\sqrt{3} \\ \sqrt{10} & 2\sqrt{15} & 5 & \sqrt{6} \\ 2 & 2\sqrt{6} & \sqrt{10} & \sqrt{15} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{3} & \sqrt{5} & \sqrt{3} \\ 2-\sqrt{5} & \sqrt{21} & \sqrt{10} & -2\sqrt{3} \\ 0 & \sqrt{15} & 0 & \sqrt{6}-\sqrt{15} \\ 0 & \sqrt{6} & 0 & \sqrt{15}-\sqrt{6} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{3} & \sqrt{5} & \sqrt{3} \\ 2-\sqrt{5} & \sqrt{21} & \sqrt{10} & -2\sqrt{3} \\ 0 & \sqrt{15} & 0 & \sqrt{6}-\sqrt{15} \\0 & \sqrt{6}+\sqrt{15} & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Im letzten Schritt dieser Gleichungskette habe ich zur vierten Zeile einfach die dritte Zeile addiert. So, und nun kann man schön gemäß Laplaceschen Entwicklungssatz vorgehen: Erst die Entwicklung nach der vierten, und dann auch gleich nach der dritten Zeile:

$\begin{eqnarray*} \ldots = (\sqrt{6}+\sqrt{15})\begin{vmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{5} & \sqrt{3} \\ 2-\sqrt{5} & \sqrt{10} & -2\sqrt{3} \\ 0 & 0 & \sqrt{6}-\sqrt{15}\end{vmatrix} = (\sqrt{6}+\sqrt{15})(\sqrt{6}-\sqrt{15})\begin{vmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{5}\\ 2-\sqrt{5} & \sqrt{10}\end{vmatrix} = (-9) \begin{vmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{5}\\ -\sqrt{5} & 0\end{vmatrix} = -45 \end{eqnarray*}$

02.06.2014, 11:21

dharma

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Okay, danke für die Antwort. Ich werde das später nochmal nachrechnen, damit mir Laplace endlich klar wird. Danke nochmal. smile

smile

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