Sylow-Gruppen

Neue Frage »

glasfaser Auf diesen Beitrag antworten »
Sylow-Gruppen
guten tag.

ich sitz gerade an einer aufgabe und komme auch nach längerem überlegen und probieren nicht weiter. kann mir jemand helfen?

sei G endliche gruppe und gruppenepimorphismus. zeigen sie: falls P p-sylow-gruppe von G, so ist p-sylow-gruppe von H.

ich habe zu der aufgabe einen hinweis gegeben. diesem folge ich und habe bereits gezeigt, dass eine p-untergruppe von H ist und dass ein isomorphismus ist.

nun soll man mittels korrespondenzsatz zeigen, dass gilt und dann die ordnungen von N, P, und betrachten und den 2. isomorphiesatz verwenden.

hier haperts aber, das gelingt mir nicht. kann mir jemand hierbei helfen?

wenn man es schafft zu zeigen, und die ordnungen für die genannten mengen findet, kann man ja nach 2. isomorphiesatz so rechnen:



wobei die 2. gleichheit gilt, da isomorphismus. und man müsste dann nach den auf kommen.

bitte um hilfe Wink schönen feiertag wünsche ich euch!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Den zweiten Hinweis finde ich etwas redundant. Klar, dass das mehr verwirrt.

Sei und .

Wegen der Surjektivität folgt (N soll wohl der Kern sein) , also ist insbesondere mit , was zusammen mit die Behauptung ergibt.

PS: Letztendlich läuft alles darauf hinaus geeignet abzuschätzen. Nur das drumherum ist bei deinem Beweisvorschlag halt deutlich komplizierter.
glasfaser Auf diesen Beitrag antworten »

hi!

Zitat:
Sei und .

dass ich |G| so setzen kann ist mir klar. aber warum kann ich |H| so setzen? reicht es zu sagen: , da epimorphismus und somit muss teilt gelten? und muss ich nicht auch noch noch verlangen? und p teilt nicht s?

Zitat:
Wegen der Surjektivität folgt (N soll wohl der Kern sein) , also ist insbesondere mit


die mächtigkeit für N (ja ich meinte den kern, tut mir leid, habe ich vergessen hinzuschreiben) ergibt sich dann aus dem homomorphiesatz.
aber wieso gilt dann ?

Zitat:
was zusammen mit die Behauptung ergibt.

wir würden dann doch erhalten. wir brauchen doch aber ? dann würde mit dem wissen dass p-gruppe ist folgen dass es eine p-sylow-ug ist.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

1. Naja erstmal kann ich jede natürliche Zahl so schreiben (Dass r und s nicht mehr durch p teilbar sind, habe ich mal verschwiegen, da es anhand der Schreibweise klar sein sollte). Dass dann letztendlich gilt, folgt aus der Surjektivität.

2. ist ein Teiler der Mächtigkeit von .

3. Nach dem Erwähnten gilt , also haben wir . Das reicht uns, denn die andere Ungleichung ist trivial.
glasfaser Auf diesen Beitrag antworten »

1) habe ich verstanden

2) das sehe ich nun auch. danke! nach dem 2. isosatz gilt ist normalteiler in P, also insbesondere untergruppe und nach lagrange ist die mächtigkeit dann teiler von der mächtigkeit von P.

ich verstehe allerdings noch zwei sachen nicht:

a) wenn die mächtigkeit von die von P teilen muss, dann muss sein. wieso muss aber sein? ich sehe , aber nicht inwiefern aus der mächtigkeit des kerns folgt.

b) wieso gilt diese gleichheit: ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a) ist ja auch ein Teiler von . Und in kommt ja nur mit dem Exponent vor.

Zu b) Der Kern von ist ja gerade .
 
 
glasfaser Auf diesen Beitrag antworten »

ich danke. smile habs kapiert smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »