Divergente Minorante?

29.05.2014, 19:59

Kleeblättchen

Divergente Minorante?

Tach, ich bin gerade dabei zwei Reihen auf Konvergenz zu untersuchen. Es handelt sich dabei um:

a) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{5k+3} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k+(-1)^k} \end{eqnarray*}$

Zu der a) Ich habe es schon mit dem Quotientenkriterium versucht leider liefert es den Wert 1 und damit keine Aussage. Ich denke da hilft nur das Minorantenkriterium um zu zeigen das die Reihe divergiert. Leider weiß ich nicht wirklich wie ich eine sollche Minorante finde. Mojaronten zu finden ist wesentlich einfacher als Minoranten. Kann mir jemand evtl. dabei helfen?

29.05.2014, 20:08

10001000Nick1

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Beides kannst du mit der harmonischen Reihe abschätzen.

29.05.2014, 20:15

Kleeblättchen

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RE: Divergente Minorante?
Meinst du etwa $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{5k+3}<\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ divergiert, divergiert auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{5k+3} \end{eqnarray*}$
Das klappt doch schon nicht wegen dem Startindex ...?

Ich dachte bei dem Minorantenkriterium muss gelten das $\begin{eqnarray*} a_n>b_n \end{eqnarray*}$ gilt also in dem Fall $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5k+3}>b_n \end{eqnarray*}$ . Das Problem was ich habe ist es einen entsprechenden Ausdruck zu finden für $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$

29.05.2014, 20:19

10001000Nick1

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Wie du schon sagst, ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ein ganz kritischer Ausdruck, weil der erste Summand "1/0" wäre.
Und wie du auch bemerkt hast, bringt uns eine divergente Majorante gar nichts.

Du kannst es so machen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{5k+3}>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{5k+5}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{5(k+1)}=... \end{eqnarray*}$

29.05.2014, 20:30

Kleeblättchen

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Das istja mal geschickt. Ist das ein Standardtrick beim finden einer Minorante? Irgendwie habe ich dabei noch kein wirkliches Schema entdeckt wonach man sich richten kann ... smile

Dann gilt also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{5k+3}>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{5k+5}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{5(k+1)}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ Damit divergiert auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{5k+3} \end{eqnarray*}$

bei der b) müsste das ja über eine Indexverschiebung klappen?

29.05.2014, 20:33

10001000Nick1

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Jetzt hast du nur den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ vergessen, sonst ist es aber richtig.

Ich kenne kein "Standardverfahren" zum Finden einer Minorante. Ein bisschen "Kreativität" ist da manchmal gefragt. Augenzwinkern

Zu b): Ja, da kannst du eine Indexverschiebung machen. Aber erstmal musst du dir überlegen, was du mit $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ machst.

29.05.2014, 20:40

Kleeblättchen

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Kann ich das nicht für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ wegfallen lassen da sich es doch jedes mal wieder aufhebt? Also $\begin{eqnarray*} 1-1+1-1+1-1+... \end{eqnarray*}$ Dann müsste man nämlich nicht einmal eine Indexverschiebung machen da man direkt die harmonische Reihe dort stehen hat ... smile

29.05.2014, 20:48

10001000Nick1

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Das mit dem "Aufheben" solltest du dann vielleicht noch genauer begründen; aber eigentlich hebt sich da nichts auf, sondern nur die Reihenfolge der Summanden ist etwas anders als bei der harmonischen Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k+(-1)^k}=\frac{1}{2+1}+\frac{1}{3-1}+\frac{1}{4+1}+\frac{1}{5-1}+...=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+... \end{eqnarray*}$
Und diese Umordnung der harmonischen Reihe kann nicht konvergent sein (warum?).

Ich fände es allerdings "schöner", die Divergenz wieder mit einer divergenten Minorante zu zeigen; es ist ja $\begin{eqnarray*} k+(-1)^k\leq k+1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

29.05.2014, 20:59

Kleeblättchen

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Ah ja, langsam verstehe ich es wie man eine Minorante findet.

Das wäre dann ja: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k+(-1)^k}\geq\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k+1}=\sum_{k=3}^{\infty}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ und damit divergiert auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k+(-1)^k}. \end{eqnarray*}$

Das wäre alles? smile

29.05.2014, 21:03

10001000Nick1

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Ja, das ist alles.

Hast du oben noch meine Ergänzung gesehen?

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Und diese Umordnung der harmonischen Reihe kann nicht konvergent sein (warum?).

Kannst du das "warum?" beantworten? smile

29.05.2014, 21:10

Kleeblättchen

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Ich denke weil es nur eine andere Reihenfolge der harmonischen Reihe ist. Es tauchen alle Summanden auf bloß in einer anderen Reihenfolge. Für die Divergenz spielt das allerdings keine Rolle wann sie auftauchen sondern nur das sie auftauchen?

29.05.2014, 21:23

10001000Nick1

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Bei endlichen Summen kann man die Summanden beliebig vertauschen (aufgrund des Kommutativgesetzes).
Bei (unendlichen) Reihen ist das aber nicht mehr so einfach.
Wenn man eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe hat (man spricht dann auch von bedingter Konvergenz), dann gibt es für jede reelle Zahl $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ eine Umordnung dieser Reihe, sodass die Umordnung gegen $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ konvergiert. Man kann die Reihe sogar so umordnen, dass die Umordnung bestimmt divergiert.

Z.B. ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln(2) \end{eqnarray*}$ , es gibt aber eine Umordnung, die gegen $\begin{eqnarray*} \frac{\ln(2)}{2} \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Genaueres steht hier: Riemannscher Umordnungssatz

Jetzt ist es aber so, dass jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe gegen den selben Grenzwert wie die Reihe selbst konvergiert.
Und damit kannst du jetzt einen Widerspruch erzeugen, wenn du annimmst, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k+(-1)^k}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+... \end{eqnarray*}$ konvergiert.

29.05.2014, 21:38

Kleeblättchen

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Alles klar, ich werde mir mal den Wikipedia-Artikel durchlesen. Merci! smile

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