Exponentielles Wachstum (Momentanzerfall, Anfangsbestand)

29.05.2014, 20:51

ln2

Exponentielles Wachstum (Momentanzerfall, Anfangsbestand)

Guten Abend!

Ich habe 2 Fragen verwirrt

1.) Verdopplung der (in diesem Fall) Bakterienkultur
Klassisches Beispiel nach dem Melken wird 1 cm³ Frischmilch auf Keime untersucht.
Gegeben waren 2 Zustände. 2 Stunden nach Melken und 4,5 Stunden nach Melken. Gleichung mit Einsetztungsverfahren gelöst.

Komme dann zu folgender Funktion
$\begin{eqnarray*} N(t) = 3215,320242 \cdot e^{0,5416824186\cdot t} \end{eqnarray*}$
Fragestellung: Wann hat sich die Anzahl der Keime Verdoppelt? Ist diese Zeit von N(0) abhängig? Begründen sie!
$\begin{eqnarray*} 3215,320242 \cdot 2 = 3215,320242 \cdot e^{0,5416824186\cdot t} \end{eqnarray*}$ |:N(0)

Hebt sich auf oder?
$\begin{eqnarray*} \frac{3215,320242 \cdot 2}{3215,320242} = e^{0,5416824186\cdot t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(2)}{0,5416824186} \Rightarrow t \approx 1,28 h \end{eqnarray*}$
Daraus schließe ich das die Verdopplungszeit unabhängig ist von N(0) stimmt das?

Um wie viel Prozent wächst die Anzahl der Keime Pro Stunde?
Würde ich so ausdrücken:
$\begin{eqnarray*} \frac{N(1) * 100}{N(0)} \approx 171% \end{eqnarray*}$
Ist das Richtig?

2. Frage Momentane Zerfallsgeschwindigkeit
10g radioaktive Substanz zerfällt mit der Halbwertszeit 17 min.
Zerfallgesetz:
$\begin{eqnarray*} N(t) = 100 \cdot e^{(\frac{ln(0,5)}{17}) t } \end{eqnarray*}$
Wobei 100 % -> 10 g Entspricht!
Wie komme ich jetzt aber auf die Momentane Zerfallsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0min und t = 17 min. verwirrt

Ich denke das es mit der Zerfallskonstante Zusammenhängt.
Bei N(0) müsste ich Theoretisch 100 % Zerfall haben
Bei N(17) dann 50% Zerfall
Aber in welcher Einheit wird das Ausgedrückt?

LG!

29.05.2014, 22:46

Bonheur

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Zitat:

Original von ln2
Daraus schließe ich das die Verdopplungszeit unabhängig ist von N(0) stimmt das?

Es ist doch abhängig.

Du hast doch einen bestimmten Anfangsbestand, der ganz wichtig ist. Angenommen du hättest einen kleineren Anfangsbestand, dann hättest du doch eine vollkommen andere Zeit.

---------

Zitat:

Original von ln2
Um wie viel Prozent wächst die Anzahl der Keime Pro Stunde?
Würde ich so ausdrücken:
$\begin{eqnarray*} \frac{N(1) * 100}{N(0)} \approx 171% \end{eqnarray*}$
Ist das Richtig?

Ja. Die Rechnung ist gut, aber du hast 71 %, weil ja 71 % dazu kommen. smile

Zitat:

Original von ln2
10g radioaktive Substanz zerfällt mit der Halbwertszeit 17 min.
Zerfallgesetz:
$\begin{eqnarray*} N(t) = 100 \cdot e^{(\frac{ln(0,5)}{17}) t } \end{eqnarray*}$
Wobei 100 % -> 10 g Entspricht!
Wie komme ich jetzt aber auf die Momentane Zerfallsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0min und t = 17 min. verwirrt

Ich denke das es mit der Zerfallskonstante Zusammenhängt.
Bei N(0) müsste ich Theoretisch 100 % Zerfall haben
Bei N(17) dann 50% Zerfall
Aber in welcher Einheit wird das Ausgedrückt?

LG!

Momentane Zerfallsgeschwindigkeit ist gleichzusetzen mit momentane Änderungsrate.

Und wie berechnet sich die Änderungsrate ?

29.05.2014, 23:17

ln2

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Alles klar danke smile

Aber sobald ich Lambda habe welches in der Tat von N(0) abhängig ist, brauch ich ja zum Berechnen von der Doppelten Anfangsmenge (also nach welcher Zeit) ja eigentlich immer nur den ln(2) / Lambda das N(0) kürzt sich ja weg oder? Ist es also beim Berechnen nicht notwendig verwirrt

?

Momentane Änderungsrate: Ich bin mir nicht ganz sicher aber ist das die Differenz zwischen Zeitpunkt A und Zeitpunkt B ?+

Lg!

29.05.2014, 23:30

Bonheur

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Zitat:

Original von ln2

Alles klar danke smile
Aber sobald ich Lambda habe welches in der Tat von N(0) abhängig ist, brauch ich ja zum Berechnen von der Doppelten Anfangsmenge (also nach welcher Zeit) ja eigentlich immer nur den ln(2) / Lambda das N(0) kürzt sich ja weg oder? Ist es also beim Berechnen nicht notwendig verwirrt ?

Du hast mich überzeugt. Klingt logisch. Allerdings trifft das nur zu, wenn die Verdopplungszeit gesucht ist.
Dann hast du Recht. Es ist unabhängig. Tut mir leid. unglücklich

Zitat:

Original von ln2
Momentane Änderungsrate: Ich bin mir nicht ganz sicher aber ist das die Differenz zwischen Zeitpunkt A und Zeitpunkt B ?+

Das wäre die mittlere Änderungsrate. Die Steigung zwischen zwei Punkten. Es ist allerdings die Steigung an einem bestimmten Punkt gesucht.
Und die Steigung berechnet sich mit der ersten Ableitung.

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