Goldener Schnitt Herleitung - Quadratische Gleichung

29.05.2014, 21:45

menechri

Goldener Schnitt Herleitung - Quadratische Gleichung

Hallo,
meine Frage:

Ich will den Goldenen Schnitt herleiten: a/b = (a+b)/b, also ich möchte zeigen wie ich auf a/b = (1 +- wurzel5) / 2 komme.

1. a/b = b/a + 1 ( --> (a+b) / b) aufgespaltet )

2. a/b - b/a - 1 = 0 (Alles auf eine seite gebracht, als nächstes mach ich alles ²)

3.(a/b)² - (b/a)² - 1² = 0

Meine frage jetzt: darf ich hier jetzt die kleine Lösungsformel für quadratische gleichungen anwenden ? Falls ja dann würd ich folgendermaßen weiter machen:

a/b (1,2) = +(1/2) +- wurzel aus (1/4) - 1 usw. ... Undso würd ich dann auf das Ergebnis kommen,das ich zeigen wollte. Also ist das erlaubt das ich da die kleine Formel anwende? Weil irgendwie erscheint mir das bisschen seltsam, allerdings komme ich dadurch auf das "richtige" bzw. gewünschte Ergebnis.

Oder so generell falls dieser Rechenweg nicht in Ordnung ist, kann mir jemand eine "korrekte" Herleitung des Goldenen Schnittes erklären?

PS: Sorry ich weiß leider nicht wie man ein Wurzelzeichen schreibt - hoffe ihr kennt euch trotzdem aus.

Greets

29.05.2014, 21:49

menechri

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Hallo sorry Edit: Ich mein natürlich a/b = (a+b)/a , nicht a/b = (a+b)/b

29.05.2014, 22:17

10001000Nick1

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RE: Goldener Schnitt Herleitung - Quadratische Gleichung

Zitat:

Original von menechri
2. a/b - b/a - 1 = 0 (Alles auf eine seite gebracht, als nächstes mach ich alles ²)

3.(a/b)² - (b/a)² - 1² = 0

Eine Summe wird nicht quadriert, indem man einfach jeden Summanden quadriert.

Ich würde erstmal die Brüche beseitigen, und dann mithilfe der Lösungsformel nach a oder b auflösen.

29.05.2014, 22:54

menechri

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Ja ok wenn ich das so mache das ich die Brüche beseitige komme ich dann auf folgende Gleichung:

a² = ab + b²

Darf ich jetzt folgendermaßen weitermachen:

a² - ab - b² = 0

--> a 1,2 = 1/2 +- wurzel (1/4) + 1

..... also darf ich die kleine lösungsformel anwenden obwohl 2 mal ein quadrat vorkommt?

danke!!

29.05.2014, 23:00

10001000Nick1

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Deine Gleichung $\begin{eqnarray*} a^2-ba-b^2=0 \end{eqnarray*}$ stimmt noch. Dann hast du allerdings die Lösungsformel nicht richtig angewendet.

Du musst, wenn du nach a auflösen willst, das b als Konstante betrachten. In der Normalform $\begin{eqnarray*} a^2+pa+q=0 \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} p=-b, q=-b^2 \end{eqnarray*}$ .

29.05.2014, 23:46

menechri

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ok stimmt jetzt kommt mir das richtige raus vielen Dank! Freude

Also ich muss am Ende noch auf a/b umformen (weil der goldene schnitt ja ein Verhältnis ausdrückt sagt man das so?) aber dann kommt das richtige heraus.

Andere Frage noch kurz. Ein noch viel schnellerer Weg wäre wenn ich in den Formel vom Goldenen Schnitt zb für a/b einfach phi einsetze (und b/a --> 1/phi).Dann kriege ich auch eine quadratische Gleichung und kann am Ende wieder für phi --> a/b einsetzen und krieg genauso das Ergebnis a/b = (1 + wurzel5) / 2

Mit Welcher Begründung darf ich das machen bzw. drückt man das so aus: ich setze für a/b phi als parameter ein ?

Sorry das hat jetzt nicht mehr direkt was mit Algebra zu tun aber ich hab mir gedacht meine Frage ist sicher schnell beantwortet,wär super wenn du mir da noch helfen koenntest! Muss das verbal gut erklären können, da ich am Montag mündliche Matura hab.

LG Wink

30.05.2014, 00:02

10001000Nick1

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Zitat:

Original von menechri
(weil der goldene schnitt ja ein Verhältnis ausdrückt sagt man das so?)

Ja, kann man so sagen: Der Goldene Schnitt ist das Verhältnis einer längeren zur kürzeren Strecke, wobei die längere im selben Verhältnis zur kürzeren Strecke steht wie die Summe der beiden Strecken zur längeren Strecke. Das ist genau das, was du mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}=\frac{a+b}{a} \end{eqnarray*}$ beschrieben hast.

Zitat:

Original von menechri
Andere Frage noch kurz. Ein noch viel schnellerer Weg wäre wenn ich in den Formel vom Goldenen Schnitt zb für a/b einfach phi einsetze (und b/a --> 1/phi).Dann kriege ich auch eine quadratische Gleichung und kann am Ende wieder für phi --> a/b einsetzen und krieg genauso das Ergebnis a/b = (1 + wurzel5) / 2

Mit Welcher Begründung darf ich das machen bzw. drückt man das so aus: ich setze für a/b phi als parameter ein ?

Das ist ganz einfach eine Substitution. Du substituierst also $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ . Dann löst du die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ auf und machst dann die Rücksubstitution.
Der Goldene Schnitt wird auch oft definiert als die positive Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} \phi-1-\frac{1}{\phi}=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \phi^2-\phi-1=0 \end{eqnarray*}$ .

Genau dieses Vorgehen (mit der Subsitution $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}=\phi \end{eqnarray*}$ ) wird übrigens auch hier beschrieben (und auch noch ein paar andere nette mathematische Eigenschaften).
Um welches Thema geht's denn in deiner Prüfung?

30.05.2014, 09:32

menechri

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Ok super danke Freude

Mir ging es um das verbale aber ich denke jetzt weiß ich wie ich mich diesbezüglich ausdrücken soll.

Mein Thema ist der Goldene Schnitt im Allgemeinen (Herleitung der "Formel" + Verwendung des goldenen Schnittes im Allgemeinen (also eher so inhatlich [ Kunst,Medizin,Architektur,...] ) und dann noch der Goldene Schnitt im speziellen am Pentagramm, also welche Seiten sich dort wie zueinander verhalten bzw. wo man den goldenen Schnitt "sieht". Das ist die erste Frage, soll ca. 5 min. dauern, die 2. Frage wird dann ein Rechenbeispiel sein mit Kompetenzfragen bzw. Herleitungsfragen undso, soll auch ca. 5 min. sein.

Danke nochmal!

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