Beweise zur hyperbolischen Funktion |
| 30.05.2014, 12:10 | MarioH | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweise zur hyperbolischen Funktion sinh(x) =1/2(exp(x)-exp(-x)) cosh(x) =1/2(exp(x)+exp(-x)) Zeige, dass für alle x,y aus R folgende Aussagen gelten: a) sinh(x+y) = sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y) b) sinh(2x) = 2*cosh(x)sinh(x) c) cosh(x)²-sinh(x)² = 1 Meine Ideen: a) sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y) = (1/2(exp(x)-exp(-x)))*(1/2(exp(y)+exp(-y))) + (1/2(exp(x)+exp(-x)))*(1/2(exp(y)-(exp(-y))) =1/2(exp(x)-exp(-x)+exp(y)+exp(-y)) + 1/2(exp(x)+exp(-x)+exp(y)-exp(-y)) = exp(x)+exp(y) sinh(x+y)= 1/2(exp(x+y)-exp(-x-y)) = 1/2*exp(x)exp(y)-1/2*exp(-x)exp(-y) Irgendwas kann hier nicht stimmen :O Ich merke grad am Bearbeiten von b), das wohl die erste Umformung komplett falsch war. b) 2*cosh(x)sinh(x) = 2*(1/2*exp(x)-1/2*exp(-x))*(1/2*exp(x)+1/2*exp(-x)) =2*(1/4*exp(x)²+1/4exp(x)*exp(-x)-1/4*exp(-x)*exp(x)+1/4*exp(-x)²) =2*(1/4*exp(x+x)+1/4exp(x-x)-1/4*exp(-x+x)+1/4*exp(-x-x)) =2*(1/4*exp(2x)+1/4*exp(-2x)) =1/2*(exp(2x)+exp(-2x)) = cosh(2x) --> Hier hab ich wohl einen Vorzeichenfehler eingebaut... war ja sinh(2x) zu zeigen. c) cosh(x)²-sinh(x)² =(1/2(exp(x)+exp(-x))*1/2(exp(x)+exp(-x)))-(1/2(exp(x)-exp(-x))*1/2(exp(x)-exp(-x))) =(1/4*exp(2x)+1/4*exp(-2x))-(1/4*exp(2x)+1/4*exp(-2x)) = 0 != 1 Hier habe ich mithilfe der b) direkt gekürzt. Wohl ein Folgefehler. |
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| 30.05.2014, 12:15 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » |
Erstmal a): Es ist sinh(x) cosh(y)+cosh(x) sinh(y) = 1/4 (e^(-x)+e^x) (-e^(-y)+e^y)+1/4 (-e^(-x)+e^x) (e^(-y)+e^y) 
Hilft das schon weiter? |
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| 30.05.2014, 12:23 | MarioH | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nur wenn da jetzt cosh(x) sinh(y)+sinh(x)cosh(y) steht, sonst bin ich mit den Vorzeichen verwirrt. |
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| 30.05.2014, 12:36 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » |
An welcher Stelle? |
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| 30.05.2014, 12:44 | MarioH | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du meintest ja: sinh(x)cosh(y)+cosh(x) sinh(y) = 1/4 (e^(-x)+e^x) (-e^(-y)+e^y)+1/4 (-e^(-x)+e^x) (e^(-y)+e^y) Wenn ich das nun einzeln ausmultipliziere erhalte ich ja: sinh(x)cosh(y) = 1/4 (-e^(-x)+e^x) (e^(-y)+e^y) cosh(x) sinh(y) = 1/4 (e^(-x)+e^x) (-e^(-y)+e^y) oder sehe ich das falsch? Dann wären deine Terme ineinander vertauscht. Das Ergebnis ist ja weiterhin korrekt, nur dass ich das nicht falsch sehe :P |
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| 31.05.2014, 15:48 | MarioH | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok die vielen Nachfragen sind egal; nach viel Verwirrung hab ichs jetzt hinbekommen 
1/4 (e^(-x)+e^x) (-e^(-y)+e^y)+1/4 (-e^(-x)+e^x) (e^(-y)+e^y) = 1/4(e^(-x)*(-e^(-y))+e^(-x)*e^y+e^x*(-e^(-y))+e^x*e^y) +1/4((-e^(-x))*e^(-y)+(-e^(-x))*e^y+e^x*e^(-y)+e^x*e^y) =1/2(e^x*e^y)-1/2(e^(-x)*e^(-y))+1/4(e^(-x)*e^y)-1/4(e^(-x)*e^y)+1/4(e^x*(e^(-y))-1/4(e^x*(e^(-y)) =1/2(e^x*e^y)-1/2(e^(-x)*e^(-y)) = sinh(x + y) b) 2*cosh(x)sinh(x) = 1/2 (e^(-x)+e^x) (-e^(-x)+e^x) = 1/2(e^(-x)*(-e^(-x))+e^(-x)*e^x+e^x*(-e^(-x))+e^x*e^x) =1/2(e^(2x)-e^(-2x)) c) 1/4 (e^(-x)+e^x) (e^(-x)+e^x)-1/4 (-e^(-x)+e^x) (-e^(-x)+e^x) =1/4(e^(-2x)+1+1+e^(2x))-1/4(-e^(-2x)-1-1+e^(2x)) =1/2-1/2+1/4(e^(-2x)+e^(2x))-1/4(-e^(-2x)+e^(2x)) =1/4(e^(-2x))+1/4(e^(-2x)) =1/2(e^(-2x)) Bei der c) habe ich mich scheinbar wieder verrechnet 
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