Gleichung vereinfachen II

30.05.2014, 17:56

Morbz

Hallo zusammen,
ich habe nochmals eine Frage unglücklich

Folgende Gleichung muss nach v umgestellt werden:

$\begin{eqnarray*} e^{2\sqrt{g\alpha }t } = \frac{\sqrt{\frac{g}{\alpha } } +v}{\sqrt{\frac{g}{\alpha } } -v} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis soll sein:

$\begin{eqnarray*} v =\sqrt{\frac{g}{\alpha }} \cdot \frac{e^{2\sqrt{g\alpha }t }-1}{e^{2\sqrt{g\alpha }t }+1} \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich wieder keine Ahnung, wie man das machen soll.
Hat jemand einen Tipp für mich?

Viele Grüße,
Morbz

edit von sulo: Neue Anfragen bitte in einen neuen Thread stellen.
Habe diese Anfrage vom alten Thread abgetrennt. 37 Beiträge dort sind genug.

30.05.2014, 18:24

adiutor62

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Ich setze zum Rechnen:

Rechte Seite = x
Wurzelausdruck =y

$\begin{eqnarray*} x=\frac{y+v}{y-v} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x*(y-v)=y+v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xy-xv-v=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v*(-x-1)=y-xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=\frac{y*(1-x)}{-x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=y*\frac{1-x}{-(x+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=y*\frac{x-1}{x+1} \end{eqnarray*}$

30.05.2014, 18:53

Morbz

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Vielen Dank für deine Antowrt smile

Ich habe nochmal ein Problem traurig

Diese Gleichung soll nach t umgestellt werden.

$\begin{eqnarray*} -h=v\cdot t-\frac{g}{2} \cdot t^{2} \end{eqnarray*}$

Allerdings verwirren mich die 2 t auf der rechten Seite sehr.

Ich habe mir überlegt, dass man die rechten t ausklammern könnte $\begin{eqnarray*} -h=(v-\frac{g}{2} \cdot t)\cdot t \end{eqnarray*}$

Allerdings weiß ich nicht, ob das richtig ist und falls ja, wie man weiter macht...

Als Ergebnis soll folgendes rauskommen: $\begin{eqnarray*} t=\frac{1}{g} (v\pm \sqrt{v^{2}+2gh } ) \end{eqnarray*}$

Auch das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ ist mir nicht ganz klar.

Viele Grüße, Morbz

30.05.2014, 19:14

sulo

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Es ist eine quadratische Gleichung, die mit der pq-Formel gelöst wurde.

smile

30.05.2014, 20:27

Morbz

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Danke für deine Antwort.

Ich habe es jetzt mal mit der pq-Formel versucht:

$\begin{eqnarray*} -h=v\cdot t-\frac{g}{2} \cdot t^{2}|\cdot 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2h=v\cdot t-g\cdot t^{2}|:g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2h}{g} =v\cdot t-g\cdot t^{2}|\cdot (-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2h}{g} =v\cdot t+g\cdot t^{2}|-\frac{2h}{g} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= t^{2} +vt-\frac{2h}{g} \end{eqnarray*}$

Dann in die pq-Formel einsetzen:

$\begin{eqnarray*} t_{1/2} =-\frac{v}{2} \pm \sqrt{(\frac{v}{2})²+\frac{2h}{g} } \end{eqnarray*}$

Allerdings stimmt mein Ergebnis nicht mit der Musterlösung überein, oder?

Gruß, Morbz

30.05.2014, 20:59

sulo

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Wenn du eine Gleichung kürzt oder erweiterst, musst du das mit jedem Term machen.
Ich habe mal angefangen, deine Rechnung zu korrigieren:

Zitat:

Original von Morbz
$\begin{eqnarray*} -h=v\cdot t-\frac{g}{2} \cdot t^{2}|\cdot 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2h= \color{red}2\color{black} v\cdot t-g\cdot t^{2}|:g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2h}{g} =\color{red} \frac{ 2 v\cdot t}{g} \color{black}-t^{2}|\cdot (-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2h}{g} = \color{red} -\frac{ 2 v\cdot t}{g}\color{black}+ t^{2}|-\frac{2h}{g} \end{eqnarray*}$

usw.

30.05.2014, 21:06

Morbz

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Danke für die Korrektur.

Ich habe jetzt neu in die pq-Formel eingesetzt:

t_{1/2} =\frac{2v}{2g}\pm \sqrt{-(\frac{2v}{2g}²)+\frac{2h}{g} }

Stimmt es jetzt?

Gruß, Morbz

30.05.2014, 21:12

Morbz

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Zitat:

Original von Morbz
Danke für die Korrektur.

Ich habe jetzt neu in die pq-Formel eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} t_{1/2} =\frac{2v}{2g}\pm \sqrt{-(\frac{2v}{2g}²)+\frac{2h}{g} } \end{eqnarray*}$

Stimmt es jetzt?

Gruß, Morbz

30.05.2014, 21:13

sulo

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Du hast das Minus falsch gesetzt: Es gehört mit in die Klammer, weil das (-p/2) quadriert wird.

$\begin{eqnarray*} t_{1/2} =\frac{2v}{2g}\pm \sqrt{\color{red}-\color{black}(\frac{2v}{2g}²)+\frac{2h}{g} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_{1/2} =\frac{2v}{2g}\pm \sqrt{ \left(\frac{-2v}{2g}²\right)+\frac{2h}{g} } \end{eqnarray*}$

Außerdem hast du etwas viele Zweier, die solltest du rauskürzen.
Ansonsten stimmt deine Gleichung schon.

Man kann noch ein bisschen umformen, indem q mit g erweitert wird. Dann kannst du 1/g² ausklammern und dann aus der Wurzel ziehen.
Schließlich kannst du es aus dem gesamten Ausdruck ausklammern, wie es bei der Lösung gemacht worden ist.

smile

01.06.2014, 22:38

Morbz

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Vielen Dank sulo für deine Korrektur.
Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden Freude

Werde dann nochmals eine Aufgabe in dieser Art versuchen, hoffentlich bekomme ich es selbst hin.

Gruß, Morbz

01.06.2014, 23:27

sulo

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Du kannst dich jederzeit gerne wieder melden, wenn du Fragen hast. smile

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