Kleinste Quadrate für Gleichungen mit 3+ Variablen

Neue Frage »

30.05.2014, 19:06	Quader	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleinste Quadrate für Gleichungen mit 3+ Variablen Meine Frage: Ich habe eine Tabelle mit X und Y vorgegeben und soll daraus eine Gleichung 4. Grades aufstellen. Ich weiß nicht wie das geht, ich kenne nur ein Beispiel für y=ax+b. Meine Ideen: SUMME * (y - ax^3 - bx^2 - cx - d)^2
30.05.2014, 21:13	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe mal davon aus, dass Du Dich in der Kategorie vertan hast, denn in der Schule wird so etwas nicht behandelt (Es sei denn Du hast genau fünf Wertepaare). Wie lautet denn die genaue Aufgabenstellung und wie viele Werte stehen Dir zur Verfügung?
30.05.2014, 21:18	Quader	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gegebene Grafik stellt die Umsatzentwicklung der Firma IKE in einem Zeitraum von 11 Jahren dar. Geben Sie die Gleichung der Regressionskurve bei Annahme einer Wachstumskurve 4. Grades an. In welchem Jahr ist der Zuwas...und dann noch Aufgabe. Tabelle: x von 0 bis 10 y = Umsatz = random Zahlen
31.05.2014, 00:30	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab es mal in den Hochschulbereich verschoben, denn so ist das definitiv kein Schulstoff. Bei Regressionskurven hängt es von der Wahl einer Norm ab, wie diese zu bilden sind. Im Normalfall wird dazu die von dir oben angedeutete Methode der kleinsten Fehlerquadrate verwendet, d.h. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n}(y_k-f(x_k))²\rightarrow MIN! \end{eqnarray}$ In deinem Fall ist n=10 und $\begin{eqnarray} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray}$ . Wenn wir jetzt von Grund auf die Gleichungen herleiten wollen, wäre das Minimum einer Funktion vom $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^5 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ zu bestimmen, was über den Gradienten laufen würde. EDIT: So, Zweifel bestätigt. Ein kurze google-Anfrage zeigt, dass es sich um eine Aufgabe aus einem Lehrbuch (Trauner) handelt, dass sich im entsprechenden Kapitel mit der Programmierung von GTR beschäftigt. Es geht also gar nicht um eine händische Lösung, sondern nur die Auswahl der geeigneten Taschenrechner-Funktion.
31.05.2014, 09:44	Quader	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du eine Seite zurückblätterst, findest du das rechnerische Verfahren, auf das ich mich im Startpost bezogen habe. Ist der rechnerische Aufwand bei Regression 3./4. Grades so viel höher?
31.05.2014, 10:07	Quader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versuche das mal schriftlich zu machen (weiß gerade nicht wie das mit GTR geht, außerdem kann es sein, dass ich sowas selbst ausrechnen können muss). $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \sum (ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx +e - y)^2<br /> f_a = 2\sum * x^4 * (ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e - y) = 2 * (\sum ax^8 + \sum bx^7 + \sum cx^6 + \sum dx^5 + \sum ex^4 - \sum yx^4)<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$ Dann leite ich noch alle anderen Variablen partiell ab, setze Zahlen ein, löse jede Gleichung zu einer Variable auf. Richtig so? Kann das rechnerisch abgekürzt werden, ohne ein komplett anderes Verfahren anzuwenden? Gruß
Anzeige

31.05.2014, 10:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier um multiple lineare Regression, das schreibt man am besten mit Vektoren, ansonsten schreibt man sich dumm und dusselig. Aus den gegebenen Wertepaaren $\begin{eqnarray} (x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n) \end{eqnarray}$ (bei dir allem Anschein nach mit n=11) stellt man in Vektorenschreibweise das Modell $\begin{eqnarray} y = X\beta + \varepsilon \end{eqnarray}$ auf. Dabei ist $\begin{eqnarray} y=(y_1,\ldots,y_n)^T \in\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} X = \begin{pmatrix} x_1^4 & x_1^3 & x_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^4 & x_2^3 & x_2^2 & x_2 & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_n^4 & x_n^3 & x_n^2 & x_n^1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times 5} \end{eqnarray}$ und zu bestimmen ist der Koeffizientenvektor $\begin{eqnarray} \beta=(a,b,c,d,e)^T\in\mathbb{R}^5 \end{eqnarray}$ . Im Modell verbleibt noch der Residuenvektor $\begin{eqnarray} \varepsilon=(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)^T\in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ , der die Messfehler sowie die durch das Modell nicht erklärten Effekte beinhaltet. Die Regressionsschätzung $\begin{eqnarray} \hat\beta \end{eqnarray}$ wird ermittelt gemäß MKQ, d.h. es geht um das Optimierungsproblem $\begin{eqnarray} \\|X\beta-y\\|_2 \to \min \end{eqnarray}$ bezüglich $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ . Das läuft dann letztendlich auf die Lösung des linearen 5x5-Gleichungssystems $\begin{eqnarray} (X^TX)\hat\beta = X^Ty \end{eqnarray}$ hinaus, d.h. es ist $\begin{eqnarray} \hat\beta = (X^TX)^{-1} X^Ty \end{eqnarray}$ der gesuchte Koeffizientenvektor.
31.05.2014, 11:20	Quader	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Lösungsansatz wäre aufwendig, aber..richtig (Schwester mischt sich ein..meint es wäre falsch)?
02.06.2014, 19:58	Quader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Matritzen niedergeschrieben, aber die Zahlen sind ja trotzdem 8-stellig und mit Gauß sehr unhandlich.

Neue Frage »

Antworten »

Kleinste Quadrate für Gleichungen mit 3+ Variablen

Verwandte Themen