Linearitäts-Beweis einer verknüpften Abbildung

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30.05.2014, 22:04	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearitäts-Beweis einer verknüpften Abbildung Hallo und guten Abend Ich habe zu folgender Aufgabe eigentlich keine direkte Frage zur Vorgehensweise, sondern nur ein "leserliches Problem": Folgendes liegt vor: $\begin{eqnarray} \text {Seien } I = (a,b) \subseteq \mathbb R \text { und } C(I) \text {bzw.} C^1(I)\text { Vektorraum der stetigen bzw. stetig differenzierbaren} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text {Abbildungen von I nach } \mathbb R \text { außderdem seien } f,g,u \in C(I). \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text {Zeigen Sie, dass die Abbildung} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L: C^1(I) \rightarrow C(I), \qquad (Ly)(x):= f(x)y'(x)+g(x)y(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text {linear ist.} \end{eqnarray}$ Wie man Linearität beweist, weiß ich noch aus dem ersten Semester, werde darauf dann dasselbe anwenden, jedoch ist mir das $\begin{eqnarray} (Ly)(x)... \end{eqnarray}$ etwas unklar. Wie genau "lese" ich obige Funktion? Also vorallem die linke Seite Wurde hier sozusagen $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ auf die Funktion $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ angewandt und bildet sie so von $\begin{eqnarray} C^1(I) \text { auf } C(I) \end{eqnarray}$ ab? [Ist es hier tatsächlich nicht nötig, zu definieren, was $\begin{eqnarray} y \text { bzw } y(x) \end{eqnarray}$ ist? Sie kommt ja in der Abbildungsvorschrift vor, also möge das ausreichen...] Die Funktion $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ wird in einer folgenden Aufgabe betrachtet, also sollte das "u" aus dem Vortext wohl auch jene Funktion sein. Das y ist wie gesagt nicht bestimmt... Bin für jeden Tipp dankbar Dankeschön
30.05.2014, 22:12	Alaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Du liest das als: L von y angewendet auf x. L schickt die Funktion y auf eine andere Funktion und diese Funktion wertet x aus.
30.05.2014, 22:18	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, dankeschön! Dann kann ich ja die 3 typischen Linearitäts-regeln hier anwenden, das erleichtert die Sache natürlich, aber mal sehen ob ich probleme bekomme, danke erstmal!
31.05.2014, 20:47	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich versuche mich gerade an der Aufgabe, da ich bis jetzt arbeiten musste.. Ich strauchel grade etwas daran; Die Funktionen f,g,u sind ja Stetige Funktionen, aber nicht mehr differenzierbar, wie ist eine solche Funktion vorstellbar? Ich gehe zur Zeit davon aus, dass es z.B. die Funktion f=5 oder g=7 etc. sein kann., jedoch kann man diese ja noch differenzieren (f',g'=0)... Mein dementsprechender Versuch, die "Skalare Linearität" nachzuweisen, also das f(ax) = a (f(x)) hier die obige Abbildung L gilt, ist leider daran gescheitert...
31.05.2014, 22:03	Alaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Beispiel: $\begin{eqnarray} L(\lambda y)(x) = f(x) (\lambda y)'(x) + g(x) (\lambda y)(x) = \lambda (f(x) y'(x) + g(x) y(x)) = \lambda L(y)(x) \end{eqnarray}$ und das gilt für alle x.
31.05.2014, 22:15	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach du meine Güte, ich hab das Lambda bei jeder Funktion (auch der C0) eingesetzt... ohmann es ist echt nicht gut das erst so spät abends zu machen Ich versuche morgen oder nach dem Essen mehr Dankschön auf jedenfall!
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02.06.2014, 16:24	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallöchen Ich wollte nur fragen, ob mein Additivitätsbeweis korrekt ist: $\begin{eqnarray} (Ly)(x_1+x_2)=f(x)y'(x_1+x_2)+g(x)y(x_1+x_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = f(x)y'(x_1)+f(x)y'(x_2)+g(x)y(x_1)+g(x)y(x_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = f(x)y'(x_1)+g(x)y(x_1)+f(x)y'(x_2)+g(x)y(x_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(Ly)(x_1)+(Ly)(x_2) \end{eqnarray}$
02.06.2014, 22:31	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist leider vollkommen falsch. Du versuchst zu zeigen, dass Ly linear ist. Du sollst aber zeigen, dass L linear ist.
02.06.2014, 23:13	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
dementsprechend ist also nur das $\begin{eqnarray} (Ly)(x_1+x_2) \end{eqnarray}$ falsch und muss durch $\begin{eqnarray} L(y_1(x)+y_2(x)) \end{eqnarray}$ ersetzt werden, so ist dies zumindest analog zu dem, was Alaster schrieb. Am Ende solle dann denke ich mal $\begin{eqnarray} L(y_1(x))+L(y_2(x)) \end{eqnarray}$ herauskommen, richtig?
02.06.2014, 23:27	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde dir raten, statt $\begin{eqnarray} (Ly)(x):= f(x)y'(x)+g(x)y(x) \end{eqnarray}$ besser $\begin{eqnarray} Ly:= fy'+gy \end{eqnarray}$ zu benutzen. Dieses mitschleppen des Argumentes führt - wie gesehen - nur zur Verwirrung. Damit ist dann auch klar, dass es um den Beweis von $\begin{eqnarray} L(y_1+y_2)=L(y_1)+L(y_2) \end{eqnarray}$ geht
02.06.2014, 23:53	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal so spaet, danke fuer den Tipp umd deinen vorherigen Hinweis Ich schreibe das morgen nochmal um, von der Ausgangsgleichung sind es ja dann nur noch ein, zwei Schritte nur aergerlich um das Blatt Papier

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