Integration Rekursionsformel

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30.05.2014, 22:24	Kleeblättchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration Rekursionsformel Abend, ich soll durch partielle Integration zeigen das gilt: $\begin{eqnarray} R(t)=\int_0^{\infty} dx x^te^{-x}=tR(t-1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t>0 \end{eqnarray}$ Leider komme ich absolut nicht weiter. Ich habe erst einmal versucht das unbestimmte Integral zu lösen. Danach habe ich jeweils schon auf den Wegen versucht indem ich $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ ableite und einmal $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ integriere wie auch $\begin{eqnarray} x^t \end{eqnarray}$ integriere und einmal $\begin{eqnarray} x^t \end{eqnarray}$ abgeleitet. Kann mir jemand helfen wie ich die Gleichheit gezeigt bekomme?
30.05.2014, 22:33	Alaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast $\begin{eqnarray} R(t) = \int_0^\infty x^t e^{-x} dx = [-e^{-x}x^t]_0^\infty + t\int_0^\infty e^{-x} x^{t-1} dx = [-e^{-x}x^t]_0^\infty + t \cdot R(t-1) \end{eqnarray}$ , einfach nach Definition von R(t). Es wäre schön, wenn der erste Summand auf der rechten Seite gleich Null ist, aber das kannst du selber prüfen.
30.05.2014, 22:50	Kleeblättchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das denn kein Zirkelschluss wenn ich das Ergebnis bereits verwende um die Formel zu zeigen? Ansonsten wäre das ja total easy...
30.05.2014, 23:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier keineswegs darum $\begin{eqnarray} R(t) = \int_0^{\infty} x^te^{-x} ~\dd x \end{eqnarray}$ zu beweisen - das ist die Definition von $\begin{eqnarray} R(t) \end{eqnarray}$ . Tatsächlich ist hier die Rekursion $\begin{eqnarray} R(t)=tR(t-1) \end{eqnarray}$ das, was zu beweisen ist! Allerdings ist das von dir (oder wem auch immer) da oben wirklich unglücklich formuliert worden, so dass das Missverständnis verständlich erscheint. P.S.: $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ist nichts weiter als eine im Argument "verschobene" Gammafunktion, d.h., es ist $\begin{eqnarray} R(t)=\Gamma(t+1) \end{eqnarray}$ .
31.05.2014, 11:07	Kleeblättchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich jetzt herausbekommen. Nun soll ich im zweiten Teil $\begin{eqnarray} R(n) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ angeben, indem ich von $\begin{eqnarray} n=0,1,2,3 \end{eqnarray}$ verallgemeinere ... Soll ich jetzt jeweils 4 Integrale berechnen und jeweils für $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ die Zahlen $\begin{eqnarray} n=0,1,2,3 \end{eqnarray}$ einsetzen und schauen was sich ergibt? Oder geht das auch indem ich mir die Rechte Seite der Gleichung anschaue? ...
31.05.2014, 15:47	Kleeblättchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat jemand noch eine Idee?
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31.05.2014, 16:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na berechne erstmal nur $\begin{eqnarray} R(0) \end{eqnarray}$ , und anschließend könntest du ein wenig darüber nachdenken, ob sich das vorher bewiesene $\begin{eqnarray} R(t)=t\cdot R(t-1) \end{eqnarray}$ nicht doch noch als nützlich erweisen könnte. P.S.: Es soll schon vorgekommen sein, dass sich die Aufgabensteller etwas bei der Reihenfolge der Teilaufgaben denken.
31.05.2014, 16:37	Kleeblättchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ habe ich das Integral mal berechnet. Da erhalte ich $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty}dx e^{-x}=1 \end{eqnarray}$ . Dann muss ja auch die rechte Seite der Gleichung 1 sein also $\begin{eqnarray} nR(n-1)=1 \end{eqnarray}$ . Da aber doch $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ steht da doch $\begin{eqnarray} 0=1 \end{eqnarray}$ was keinen Sinn ergibt ...
31.05.2014, 16:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schon bemerkenswert, wie du von den in dieser Situation wenigen sinnvollen Möglichkeiten punktgenau und zielsicher die unbrauchbarste auswählst. Als dann mal direkt die Nase reingedrückt: Verwende $\begin{eqnarray} t=1 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} R(1) = 1\cdot R(0) = 1 \end{eqnarray}$ . Anschließend verwende $\begin{eqnarray} t=2 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} R(2) = 2\cdot R(1) = 2 \end{eqnarray}$ , und dann auch noch $\begin{eqnarray} t=3 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} R(3) = 3\cdot R(2) = 6 \end{eqnarray}$ .
31.05.2014, 18:06	Kleeblättchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja, ich dappes ... Es gilt ja auch $\begin{eqnarray} t>0 \end{eqnarray}$ ... Ich habe jetzt mal noch etwas weiter gerechnet. Ich habe dann: $\begin{eqnarray} t=1:~R(1)=1R(0)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=2:~R(2)=2R(1)=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=3:~R(3)=3R(2)=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=4~R(4)=4R(3)=24 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=5:~R(5)=5R(4)=120 \end{eqnarray}$ Da tut sich ja ein Muster auf das ich bis jetzt noch nicht entschlüsseln konnte. Ich denke es lässt sich allerdings eine rekurse Folge dazu angeben. Soll ich es eventuell mal versuchen indem ich mir die Differenzenfolge anschaue und irgendwie dadurch ein Gesetz aufzustellen? Oder denke ich viel zu umständlich ...
31.05.2014, 20:06	Alaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Fakultät.
31.05.2014, 20:52	Kleeblättchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Genial, damit ist die Aufgabe gelöst. Schaaka!

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