larrygrenzwert

30.05.2014, 23:08

akamanston

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larrygrenzwert

hihi,

ich komm hier bei einem blöden grenzwert nicht weiter. irgendeien umformung will mir nicht einfallen.

durch wolfram weiß ich: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \sqrt{x} (\sqrt{x+2}-\sqrt{x} )=1 \end{eqnarray*}$
aber wie genau komm ich drauf.
ich dachte an erweitern

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} (\sqrt{x+2}-\sqrt{x}) \frac{ (\sqrt{x+2}+\sqrt{x})}{ (\sqrt{x+2}+\sqrt{x})}=\frac{2\sqrt{x} }{\sqrt{x+2}+\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$
aber hier komm ich nicht weiter^^

30.05.2014, 23:18

Gast11022013

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Kürze nun $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

30.05.2014, 23:23

akamanston

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ich weiß nicht wie,sry

30.05.2014, 23:24

Gast11022013

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Das einzige was dich am "direkten" kürzen hindert ist, dass wir im Nenner eine Summe stehen haben.
Da gibt es ja diesen bekannten Spruch: Aus Summen kürzen nur ... .

Wie beheben wir dieses Problem?
Indem wir vorher $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ im Nenner ausklammern.

30.05.2014, 23:26

akamanston

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ja haste richtig erkannt. aber seh schon wie ich fux das wurzelm ausklammer. wieso frage ich eigentlich...

30.05.2014, 23:30

Gast11022013

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War das jetzt als Kritik an meinem Beitrag gedacht, weil du schon vorher wusstet, dass du $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ausklammern musst und nicht wusstest wie es geht, deshalb nachgefragt habe und ich dir dann keine zufriedenstellende Antwort gegeben habe, oder weißt du tatsächlich wie es geht?

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30.05.2014, 23:32

akamanston

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ja kritk, aber an mir selbst. ich habe viel zu voreilig den thread erstellt. ich hatte schon die ganze zeit den gedanken, dass ich nenner als produkt darstellen soll, aber ich habe nicht daran gedacht das wurzelx auszuklammern. also ich hatte schon gedacht, aber das sah mir zu kompliziert aus, und dadurch das du mich bestärkt hast wurzelm auszuklammern, habe ich mich getraut Big Laugh

Big Laugh

also danke dir!!!

30.05.2014, 23:34

Gast11022013

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Da bin ich ja beruhigt.

Wenn du die Lösung kontrolliert haben möchtest, dann kannst du sie ja noch posten.

30.05.2014, 23:38

akamanston

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ich habs schon, aber der vollständigkeit halber kann ich es ja noch posten=)
obwohl ich den formeleditor hasse.

bäm
$\begin{eqnarray*} =\frac{2\sqrt{x} }{\sqrt{x+2}+\sqrt{x} } <br /> =\frac{2\sqrt{x} }{\sqrt{x} (\sqrt{1+\frac{2}{x} }+1 )}<br /> =\frac{2}{(\sqrt{1+\frac{2}{x} }+1 )} =\frac{2}{2}=1 <br /> \end{eqnarray*}$

30.05.2014, 23:41

Gast11022013

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Das ist natürlich richtig.

Hast du auch eine Antwort auf die Frage warum du den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\sqrt{1+\frac2x} \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+lim_{x\to\infty}\frac2x}=\sqrt{1}=1 \end{eqnarray*}$

umwandeln darfst?

30.05.2014, 23:44

akamanston

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den schritt
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+lim_{x\to\infty}\frac2x}=\sqrt{1}=1 \end{eqnarray*}$

mach ich im kopf ohne groß zu überlegen. ich schreib, wenn ich es schriftlich mache^^ unter den bruch, dass die folge 2/x einfach eine nullfolge ist. mehr nicht

30.05.2014, 23:44

Gast11022013

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Die Frage ist, warum du den Grenzwertprozess einfach so unter die Wurzel ziehen darfst.

30.05.2014, 23:46

akamanston

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also wenn du schon so drumherum schlawenzelst dann könnte man ja auch vor die 1 ein limit setzen? naja ich hab keine ahnung wieso ichdas so machen darf

30.05.2014, 23:46

Gast11022013

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Du darfst den Grenzwertprozess unter die Wurzel ziehen, weil die Wurzel stetig ist.

30.05.2014, 23:51

akamanston

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wie seh ich dass die folge stetig ist? m darf ja zB nicht negativ werden. aber uns interessier ja eh nur der postive bereich und in dem bereich darf ich alles einsetzen, sozusagen R+

31.05.2014, 00:01

Gast11022013

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Das die Wurzel stetig ist habt ihr bestimmt in der Vorlesung bewiesen.
Was ist m?
Wir betrachten den Grenzwert im (positiven) unendlichen.

31.05.2014, 00:05

akamanston

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m=x

31.05.2014, 00:09

Gast11022013

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Mach dir um diese Frage von mir nicht so einen großen Kopf. Du hast es ja intuitiv richtig gemacht. Ich wollte nur noch einmal ins Gedächtnis rufen warum man das überhaupt so tun darf.
Da kannst du ja auch noch einmal in dein Skript schauen, ich wollte dich jetzt nicht noch verwirren.

31.05.2014, 00:19

akamanston

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hey was ich mich grad frag,

wieso läuft

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n} )^{n^{2} } \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

und nicht gegen 1

und

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n^{2} } )^{n^{2} } \Rightarrow e \end{eqnarray*}$

31.05.2014, 00:33

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=e \end{eqnarray*}$

Wegen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac1n\right)^n=e \end{eqnarray*}$

Wieso sollte die andere Folge gegen 1 laufen?
Begehe nicht den Fehler, dass du auch hier einfach die Grenzwertsätze ausnutzt und sagst, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(1+0\right)^{n^2}=1 \end{eqnarray*}$

Das funktioniert so nämlich nicht.

Wenn du zum Beispiel mit der Bernoullie Ungleichung abschätzt, sieht du, dass dies divergieren muss.

Edit:

Zur Notation:

Du meinst hier $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ .
Ich gehe aber davon aus, dass es an deiner Abneigung gegenüber des Formeleditors liegt.

31.05.2014, 14:12

akamanston

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hmm, genau das
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(1+0\right)^{n^2}=1 \end{eqnarray*}$
liegt doch sooo nahe. denn wenn ich diesen grenzwert sehe $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac1n\right)^n=e \end{eqnarray*}$ dann ist mir schon klar dass der gegen e läuft. der gw hat sich eingebrannt.
dass das bei dem gw $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=e \end{eqnarray*}$ auch so ist, sieht man ja nicht sofort. und das gilt es nun zu ergründen=)

bei der bernoulliungleichung weiß ich nicht wie ich ^(n^2) behandeln soll. ich habs einfach mal ignoriert.

$\begin{eqnarray*} (1+x)^2\geq 1+nx \end{eqnarray*}$
dann haben wir
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=e \end{eqnarray*}$
und nun bernoulli anwenden:
$\begin{eqnarray*} x= \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{2}\geq 1+n\frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$

und nun? ich habe die befürchtung, dass das falsch ist, weil ich darin keine neue info erkene.
oder heißt das einfach wenn $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{2}\geq 1 \end{eqnarray*}$ auch gegen unendlich geht? ich hab ka!

31.05.2014, 15:32

Iorek

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Zitat:

Original von akamanston
hmm, genau das
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(1+0\right)^{n^2}=1 \end{eqnarray*}$
liegt doch sooo nahe. auch wenn du wohl das n^2 im nenner vergessen hast.

Wenn das hier doch "soo nahe" liegt, wieso ist dann

Zitat:

Original von akamanston
denn wenn ich diesen grenzwert sehe $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac1n\right)^n=e \end{eqnarray*}$ dann ist mir schon klar dass der gegen e läuft.

Man könnte doch hier mit der gleichen Argumentation auf $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ als Grenzwert kommen. Die angesprochenen Grenzwertsätze können hier eben nicht angewendet werden, da es sich für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ nicht mehr um endlich viele Faktoren handelt.

Zitat:

Original von akamanston
dass das bei dem gw $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=e \end{eqnarray*}$ auch so ist, sieht man ja nicht sofort. und das gilt es nun zu ergründen=)

Ihr hattet doch bestimmt den Begriff der Teilfolge und Aussagen über das Konvergenzverhalten von Teilfolgen, genau das trifft hier zu.

Zitat:

Original von akamanston
bei der bernoulliungleichung weiß ich nicht wie ich ^(n^2) behandeln soll. ich habs einfach mal ignoriert.

Einfach Ausdrücke ignorieren, führt dich aber nicht zum Ziel. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von akamanston
und nun bernoulli anwenden:
$\begin{eqnarray*} x= \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{2}\geq 1+n\frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$

und nun? ich habe die befürchtung, dass das falsch ist, weil ich darin keine neue info erkene.

Das ist auch nicht die Bernoulliungleichung, die du angewendet hast.

Mittels der Potenzgesetze ist $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 1n\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac 1n\right)^n\right)^n \end{eqnarray*}$ , den inneren Teil kannst du jetzt (korrekt) mit Bernoulli abschätzen.

31.05.2014, 19:59

akamanston

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Zitat:

Original von Iorek
Wenn das hier doch "soo nahe" liegt, wieso ist dann

Zitat:

Original von akamanston
denn wenn ich diesen grenzwert sehe $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac1n\right)^n=e \end{eqnarray*}$ dann ist mir schon klar dass der gegen e läuft.

Man könnte doch hier mit der gleichen Argumentation auf $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ als Grenzwert kommen. Die angesprochenen Grenzwertsätze können hier eben nicht angewendet werden, da es sich für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ nicht mehr um endlich viele Faktoren handelt.

ja da hast du recht. ich hatte den grenzwert, der e ergibt einfach so abgespeichert, ohne zu wissen wie er entsteht.

so nun möcht ich nochmal zussammenfassen, damit jedem klar ist was sache ist^^

ich möchte verstehen wie man auf die grenzwerte der folgen kommen,

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\infty \end{eqnarray*}$

bernoulli ist natürlich : $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq 1+nx \end{eqnarray*}$

Zitat:

den inneren Teil kannst du jetzt (korrekt) mit Bernoulli abschätzen.

genauso wollte ich die potenz auch ignorieren. wieso nur der innere teil?
also dann schauen wir uns den gw an:
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 1n\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac 1n\right)^n\right)^n \end{eqnarray*}$
da würde dann beim inneren teil herauskommen, dass
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 1n\right)^{n}\geq 2 \end{eqnarray*}$
aber wie gehts jetzt weiter, ist doch noch lange kein grenzwert der bewiesen ist.

und jetzt zu dem anderen grenzwert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=e \end{eqnarray*}$
da gehe ich geauso vor und schaue mir den inneren teil an, oder?
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac {1}{n^2}\right)^n\right)^n<br /> \end{eqnarray*}$
nun erneut bernoulli
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac {1}{n^2}\right)^n \geq 1+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

hmm?

31.05.2014, 20:18

Gast11022013

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Eins nach dem anderen.

Also erstmal zu der Konvergenz von

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=e \end{eqnarray*}$

Hier hatte Iorek ja schon den Begriff der Teilfolge erwähnt.
Im Grunde ist es genau so, wie mit der "normalen" Folge

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e \end{eqnarray*}$

nur betrachtest du hier eben bloß jedes n^2 Folgeglied. Das ändert aber nichts an der Konvergenz. Mehr oder weniger "überspringst" du hier einfach ganz viele Folgeglieder der normalen Folge.
Ansonsten könnte man naiv auch sagen, dass die Folgen "gleich" sind (die Folgen sind natürlich nicht gleich, aber ich denke du weißt wie ich das meine).

Denn für n=1 wäre die 1. Folge einfach

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{1}\right)^{1}=2 \end{eqnarray*}$

und die 2. Folge ebenso.

Für n=2 hätten wir:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{4}\right)^{4}=2.44140625 \end{eqnarray*}$

Diesen Wert würde die andere Folge zwar nicht "zeitgleich" mit dieser erreichen, aber für n=4

Das was unsere beiden Folgen unterscheidet ist also lediglich die Geschwindigkeit der Konvergenz.
Dabei erreicht Folge 1 keinen Wert den Folge 2 nicht auch erreichen würde.

Sehe es so, wenn wir $\begin{eqnarray*} n^2=a \end{eqnarray*}$ ersetzen würden, dann hätten wir auch einfach

$\begin{eqnarray*} \lim_{a\to\infty} \left(1+\frac{1}{a}\right)^{a} \end{eqnarray*}$

da stehen.

Klar?

31.05.2014, 20:38

akamanston

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Sehe es so, wenn wir $\begin{eqnarray*} n^2=a \end{eqnarray*}$ ersetzen würden, dann hätten wir auch einfach

$\begin{eqnarray*} \lim_{a\to\infty} \left(1+\frac{1}{a}\right)^{a} \end{eqnarray*}$

da stehen.

damit tiffste den nagel auf dem kopf.

aber zurück zu meinen bernoulli ausführungen.
wo sehe ich hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 1n\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac 1n\right)^n\right)^n \end{eqnarray*}$ da würde dann beim inneren teil herauskommen, dass $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 1n\right)^{n}\geq 2 \end{eqnarray*}$

dass die folge gegen unendlich läuft?

genauso würde ich sehen wollen, dass

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=e \end{eqnarray*}$ da gehe ich geauso vor und schaue mir den inneren teil an, oder? $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac {1}{n^2}\right)^n\right)^n<br /> \end{eqnarray*}$ nun erneut bernoulli $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac {1}{n^2}\right)^n \geq 1+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

gegen e läuft.

31.05.2014, 20:50

Gast11022013

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Naja, wenn du den inneren Teil durch 2 abschätzen kannst, dann hast du ja

$\begin{eqnarray*} \left(\underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}_{\geq 2}\right)^n\geq 2^n \end{eqnarray*}$

Und das das divergiert ist klar, oder?

Die Folge

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} \end{eqnarray*}$

mit der Bernoullieungleichung abzuschätzen bringt nicht wirklich etwas wenn du über die Konvergenz etwas aussagen möchtest.
Sie ist aber hilfreich um zu zeigen, dass die andere Folge divergiert, denn wenn etwas kleineres divergiert, dann divergiert etwas größeres auf jeden Fall.

31.05.2014, 21:03

akamanston

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ja ok die aussage bringt mich weiter.

also bernoulli ist nicht geeignet um konvergenz zu zeigen. eher für divergenz geeignet.

und wenn ich konvergenz zeigen will, ist der beste weg es mit einer bekannten folge abzuschätzen.

das scheint bei der eulerschen zahl aber etwas schwerer zu sein, weil es keiner macht? soweit ich weiß kann ich eifnach zeigen, dasss euler >2 ist und <3 ist. aber den genauen wert anzunähern ist wohl schwer?

aber $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 1n\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac 1n\right)^n\right)^n \end{eqnarray*}$ divergiert doch? das wollte lorek doch auch schon. und divergenz kann ich ja mit bernoulli zeigen.

31.05.2014, 21:09

Gast11022013

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Man definiert die Eulersche Zahl ja gerade als Grenzwert dieser Folge. Weil e irrational ist kann man den Grenzwert nicht wirklich angeben, wobei ich angeben im Sinne von hinschreiben meine.

Zitat:

wenn ich konvergenz zeigen will, ist der beste weg es mit einer bekannten folge abzuschätzen.

Ob es hier einen "Besten" Weg gibt, möchte ich nicht beurteilen.

Was e später einmal wird kann man aber leicht mit einem Computer berechnen.

Du kannst ja mal

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{1000}\right)^{1000} \end{eqnarray*}$ in deinen Taschenrechner eintippen.

31.05.2014, 23:03

Gurki

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Mach dir um diese Frage von mir nicht so einen großen Kopf.

Warum eigentlich nicht?
Das macht schon Sinn sich um diese Frage ein paar Gedanken zu machen,
die dann z.B. dazu führen könnten folgende elementare Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \frac 1{1+\frac 1x}\leq\sqrt{x(x+2)}-x\leq 1 \end{eqnarray*}$

ins Feld zu führen, welche die Stetigkeitsbetrachtung obsolet macht.

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