Poissongleichung

31.05.2014, 20:55	Alenchen^Mathe=?	Auf diesen Beitrag antworten »
Poissongleichung Meine Frage: Guten Abend Mathefreunde. Ich brauche leider Hilfe bei folgender Aufgabe: Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \Delta \frac 1r = -4\pi \delta(\vec r). \end{eqnarray}$ Zeigen Sie hier zunächst $\begin{eqnarray} \Delta \frac 1r=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} r \ne 0 \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie anschließend das Volumenintegral von $\begin{eqnarray} \Delta \frac 1r \end{eqnarray}$ über eine im Ursprung zentrierte Kugel vom Radius $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ . Folgern Sie hieraus die Behauptung!. Hinweis: Satz von Gauß Zweiter Teil: b) Zeigen Sie nun mit Hilfe von Teil a), dass das elektrostatische Potential $\begin{eqnarray} \phi(\vec r)=\int_{\mathbb R} d^3 r' \frac{\rho(\vec r')}{\|\vec r - \vec r'\|} \end{eqnarray}$ die Poissongleichung $\begin{eqnarray} \Delta \phi = -4\pi \rho(\vec r). \end{eqnarray}$ erfüllt. Beachten Sie, dass sich der Laplace-Operator und die Integration auf unterschiedliche Ortsvektoren beziehen. Meine Ideen: Also ich habe mein $\begin{eqnarray} r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Delta \phi = \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \phi + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \phi \end{eqnarray}$ Das kann ich dann berechnen: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right) = -\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac 32}} \end{eqnarray}$ Und: $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right) = -\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac 32}} + \frac{3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac 52}} \end{eqnarray}$ Die partiellen Ableitungen nach y und z gehen ja analog aber wie geht's weiter ich komme nicht voran verzweifelte Grüße Alena
01.06.2014, 02:03	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissongleichung $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right) = -\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac 32}} + \frac{3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac 52}} = \frac{2x^2-y^2-z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac 52}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right) + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right) = \frac{(2x^2-y^2-z^2) + (2y^2-x^2-z^2) + (2z^2-x^2-y^2)}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac 52}} = 0 \end{eqnarray}$
01.06.2014, 12:37	Alenchen^Mathe=?	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissongleichung Danke. Aber was sagt mir das jetzt? Ich weiß einfach nicht wie ich fortfahren soll, was zu tun ist. LG Alena
01.06.2014, 14:48	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissongleichung Ich auch nicht.
01.06.2014, 14:50	Alenchen^Mathe=?	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissongleichung jetzt antwortet kein anderer mehr, weil der Thread schon antworten hat
02.06.2014, 12:28	Alenchen^Mathe=?	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissongleichung Ich bitte bitte um Hilfe
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