Einseitig assoziierte Elemente in nicht-kommutativen Ringen

01.06.2014, 04:37

M1732

Einseitig assoziierte Elemente in nicht-kommutativen Ringen

Hallo

Ich habe eine Frage zum Verständnis der Definition von einseitig assoziierten Elementen in nicht-kommutativen Ringen.

Zunächst die Definition (Wikipedia, Artikel "Assoziierte Elemente"):

Zitat:

Zwei Elemente $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ eines nicht-kommutativen Rings $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ heißen zueinander rechts assoziiert, falls eine Rechtseinheit $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b = a \cdot \epsilon \end{eqnarray*}$ existiert. Dann ist sowohl $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ rechtes Vielfaches von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , das heißt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ linker Teiler von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , als auch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ rechtes Vielfaches von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

Ich betrachte also exemplarisch "rechts assoziiert".
Es sei also $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein Ring mit Eins und $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ zueinander rechtsseitig assoziiert. Sei dann $\begin{eqnarray*} r\in R \end{eqnarray*}$ eine Rechtseinheit (mit $\begin{eqnarray*} lr=1 \end{eqnarray*}$ ) sodass $\begin{eqnarray*} b=a\cdot r \end{eqnarray*}$ .

Soweit, so gut. Was mich allerdings irritiert, ist die Aussage, dass dann $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ rechtes Vielfaches von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist, was ich als
$\begin{eqnarray*} \exists t\in R: a=b\cdot t \end{eqnarray*}$
interpretiere.

Wie soll ein solches $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ aussehen?

Sei $\begin{eqnarray*} lr=1 \end{eqnarray*}$ wie oben.
Man könnte zwar aus $\begin{eqnarray*} a=bl \end{eqnarray*}$ folgern, dass $\begin{eqnarray*} b=blr=ar \end{eqnarray*}$ .
Würde auch die Umkehrung gelten, so wäre das gesuchte $\begin{eqnarray*} t=l \end{eqnarray*}$ , aber gilt diese, und wenn ja, wie kann man das zeigen?

Ein Ansatz wäre:
$\begin{eqnarray*} b=ar\Rightarrow ar=blr \Rightarrow (a-(bl))r=0 \Rightarrow a-(bl)=0 \end{eqnarray*}$
aber die letzte Inklusion ist meiner Meinung nach in beliebigen Ringen im Allgemeinen nicht zulässig.

Ich hoffe die Frage ist verständlich fromuliert und freue mich über jede Art der Hilfe,

MM1732

01.06.2014, 08:56

ollie3

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RE: Einseitig assoziierte Elemente in nicht-kommutativen Ringen
hallo,
bei einem ring sind einheiten ja als die teiler von 1 definiert. Wenn also gilt
$\begin{eqnarray*} b=a\cdot \epsilon \end{eqnarray*}$ , heisst das also auch, dass a rechtes vielfaches von b
ist, denn durch die multiplikation mit epsilon neutralisiert sich die sache wieder...
gruss ollie3

01.06.2014, 09:21

M1732

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RE: Einseitig assoziierte Elemente in nicht-kommutativen Ringen
Hallo ollie3,

danke für die antwort. Allerdings verstehe ich immer noch nicht ganz.

Was meinst du damit, mit epsilon zu multiplizieren? bzw. was neutralisiert sich dadurch?
Könntest du mir das bitte etwas genauer erläutern?

Was mir Probleme bereitet, ist ja gerade die Einschränkung, dass $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ (bzw $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ in meinem ersten Post) nach Voraussetzung zwar "von links neutralisiert" werden kann, aber eben nicht notwendigerweise von rechts. (Sonst wäre epsilon beidseitige Einheit und das Problem gegessen) Und nur rechts könnte ich ja etwas anmultiplizieren, um "zu neutralisieren", links steht nämlich das a.

Falls etwas an meiner Fragestellung ungenau ist, werde ich das gerne neu formulieren

Gruß M1732

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