Häufungswerte einer Folge

01.06.2014, 14:54

yeAH

Häufungswerte einer Folge

Meine Frage:
Man soll alle (eigentlichen und uneigentliche) Häufungswerte der Folge
$\begin{eqnarray*} d_{n} := (-2)^{- n} \cdot (1 + i \sqrt{3})^n \end{eqnarray*}$

bestimmen

Meine Ideen:
Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1+ i\cdot \sqrt{3} }{-2}) ^{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{-2} - i \sqrt{\frac{2}{4} } )^{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } z^{n} \end{eqnarray*}$ und das geht gegen unendlich.

ist das richtig?

01.06.2014, 15:00

Gurki

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RE: Häufungswerte einer Folge
Berechne doch zuerst einfach mal $\begin{eqnarray*} d_3 \end{eqnarray*}$ und guck mal was dann noch zu tun bleibt...

01.06.2014, 21:18

yeAH

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Wenn ich dich richtig verstanden habe, muss ich n=3 setzen. Das heißt in unserem Fall die komplexe Zahl hoch drei. Wenn ich das mache kommt dann kommt da ein gigantischer Ausdruck raus, den ich in keinster Weise zusammenfassen kann.

Kann mir jemand helfen, was ich jetzt genau machen muss und ist mein Ansatz überhaupt richtig?

01.06.2014, 21:58

Gurki

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Mach was ich dir gesagt habe und rechne RICHTIG, dann kommt was ganz und gar nicht Kompliziertes raus.
Über deinen 'Ansatz' hüllen wir lieber den Mantel des Schweigens...

01.06.2014, 22:47

yeAH

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Ich habe die 3 in meiner Umformung und nicht in der Ausgangsgleichung eingesetzt. Dann kann da auch nichts Gutes bei rauskommen. Hammer

Also, ich schreibe meinen Ansatz

$\begin{eqnarray*} -2^{-3}\cdot (1+i\cdot \sqrt{3})^{3} \end{eqnarray*}$

Und nach allem Umformen kommt 1 raus.

ich habe jetzt mal verschiedene Werte für n eingesetzt und dabei habe ich gemerkt, dass immer auf drei Ergebnisse hinausläuft zumindest bis n=6.

Kann man jetzt darauf schließen, dass das jetzt unsere drei Häufungspunkte sind (das wäre jetzt logisch) und wir mit der Aufgabe an dieser Stelle fertig ist, indem wir diese vorgerechnet angeben?

02.06.2014, 08:07

Gurki

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Zitat:

Original von yeAH
Und nach allem Umformen kommt 1 raus.

Hallelujah!

Zitat:

Original von yeAH
... zumindest bis n=6.

Glaubst du, dass sich daran was ändern kann wenn n größer wird?

Zitat:

Original von yeAH
Kann man jetzt darauf schließen, dass das jetzt unsere drei Häufungspunkte sind

Ja, das kann man und das solltest du auch tun!

Betrachte dazu $\begin{eqnarray*} d_{3n},~d_{3n-1},~d_{3n-2} \end{eqnarray*}$ und berücksichtige dabei die Rechenregeln für Potenzen.

03.06.2014, 15:40

yeAH

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Danke sehr,

jetzt hab ichs.

:-)

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