Verständnisfrage: Basis / Basis orthogonales Komplement

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Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage: Basis / Basis orthogonales Komplement
Hi Boardies,

ich habe eine Frage. Ich habe ein paar Aufgaben gerechnet bei der es darum ging eine Basis vom Untervektorraum U(orthogonales Komplement) bestimmen soll, wobei U ein Untervektorraum ist.

Ich habe ein "Theorie" entwickelt Big Laugh

Nun möchte ich wissen, ob die schlauen Köpfe hier im Board dies bestätigen bzw widerlegen können.

Kann es sein, dass:

Basis von U (orthogonales Komplement) = Basis von Kern(U)

ist?

Aufgabentechnisch kommt immer das selbe raus.

Vielen Dank für eure Hilfe smile
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn der Kern eines Untervektorraums?
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Menge aller Vektoren x aus R^n, die auf den 0-vektor abbilden.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Aber mit welcher Abbildung? verwirrt
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit Abbildung?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bilden denn irgendwelche Vektoren auf Null ab? Das geht doch nur wenn du sie in eine Abbildung einsetzt.
 
 
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Lineare Abbildung?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber welche ist es?
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry bijektion, ich steh grad aufm Schlauch. Hast du noch ein Tipp?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bist du denn auf diese Idee gekommen? Da musst du doch irgendeine lineare Abbildung betrachtet haben, sonst hättest du keinen Kern bestimmen können. Welche war das?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du scheinst irgendwie mit den Definitionen durcheinander zu kommen. Ein Kern ist nur in Bezug auf eine Abbildung definiert, bei linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen ist dies die Menge aller Vektoren, die auf die Null abgebildet werden. Dies ist ein Untervektorraum des Raums, auf dem die Abbildung definiert ist.

Konkret: Sei eine lineare Abbildung vom Vektorraum in den Vektorraum . Der Kern von ist dann definiert als .
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Es ging mir eigentlich viel mehr um folgendes:

Wenn es in der Aufgabe heißt.

Bestimmen Sie eine Basis vom orthogonalen Komplement U.
U := span(a1,a2) Teilmenge aus R^4


Dann berechne ich einfach die Basis(kern(U))

Meine Frage: klappt das immer?

edit// in der Musterlösung machen sie das nämlich. Sie lösen ein LGS mit a1=0 und a2=0.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathelover

Dann berechne ich einfach die Basis(kern(U))


Du verstehst es immer noch nicht: U ist ein Unterraum, Unterräume haben keinen Kern. Den haben nur Abbildungen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es damit:
Die Projektion von auf längs hat den Kern , also gilt .
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Wie wäre es damit:
Die Projektion von auf längs hat den Kern , also gilt .



Danke für deine Antwort Elvis, aber in der Aufgabe ist keine Rede von einer Projektion, darf ich das dann trotzdem annehmen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich darfst du das annehmen, diese Projektion ist eine der Abbildungen, die als Kern haben. Die Frage ist höchstens, was dir diese Information für das praktische Bestimmen einer Basis von bringt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist, darüber sind wir uns alle einig, unsinnig. Die Projektion ist eine lineare Abbildung, hat also einen Kern, und man kann darüber sinnvolle Aussagen machen. Für mich stellt sich in der Mathematik nicht die Frage, was wir dürfen oder nicht dürfen, sondern die Frage, was wahr und was falsch ist. Die andere Frage gehört in die Philosophie oder die Theologie - je nachdem, woran man glaubt. Ich glaube an die Mathematik.
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