Volumenberechnung mit Fubini bzw. Cavalieri

01.06.2014, 17:40	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenberechnung mit Fubini bzw. Cavalieri Aufgabe Berechnen Sie das Volumen des durch die folgenden Flächen berandeten Körpers $\begin{eqnarray} x+y=1, x=0,y=0,z=6x^2+2y^2,z=0 \end{eqnarray}$ Fragen Ich habe hier das Problem, dass ich gerade nicht genau weiß was ich berechnen soll. Denn ich habe mir in Geogebra mal für ein z die x und y ebene gezeichnet. Sind das die Flächen die berechnet werden müssen? Oder gehe ich an die Sache falsch ran? Würde mich über Hilfe freuen, danke schonmal. [attach]34462[/attach]
06.06.2014, 23:27	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo kennst du die Integration über Normalbereiche? Meist wird das in der Ebene eingeführt, es lässt sich aber auf ein Volumenbereich leicht erweitern. Vielleicht kommst du selbst drauf, wenn ich hier beispielsweise mal den Bereich der Ebene angebe. $\begin{eqnarray} B=\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : 0\leq x \leq 1 \; , \; 0 \leq y \leq 1-x \right\} \end{eqnarray}$ Das ist der Bereich, den du eingezeichnet hast. Die Ellipse ist denke ich aber da falsch in deiner Zeichnung. Die Funktion $\begin{eqnarray} z=6x^2+2y^2 = f(x,y) \end{eqnarray}$ ist einfach immer die Höhe, wenn man durch den Bereich $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ läuft. $\begin{eqnarray} \int_{x=x_0}^{x=x_1} \int_{y=\phi_1(x)}^{y=\phi_2(x)} f(x,y)\; dydx = \int_{x=x_0}^{x=x_1} \int_{y=\phi_1(x)}^{y=\phi_2(x)}\int_{z=0}^{z=f(x,y)} dzdydx \end{eqnarray}$ wäre dann rechts das etwas künstliche Volumenintegral.

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