Umgangston! Verteilung der Möglichkeiten einer Quersumme

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janfer Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilung der Möglichkeiten einer Quersumme
Meine Frage:
Hi, ich bin neu hier und entschuldige mich schon einmal im Voraus, falls das Ganze hier in die falsche Forumabteilung hineingekommen ist.

Das Problem ist folgendes:

Man nehme die Zahlen von 1 bis zu einer Zehnerpotenz-1. Zum Beispiel 999. Dann berechnet man für jede Zahl von 1 bis (in diesem Fall) 27 aus, wie viele Möglichkeiten es gibt, diese jeweilige Quersumme zu erhalten. Ich verdeutliche das in einem Beispiel:

Man nehme die Zahlen von 1-999 und berechnet zum Beispiel, dass die Nummer 13 genau 75 mal durch eine Quersumme im Zahlenbereich von 1-999 gebildet werden kann. Bei der Nummer 18 sind es zum Beispiel 55.

Es ist leicht erkennbar, dass die Anzahlen der Möglichkeiten eine Symmetrie aufweisen. Würde man die Daten in ein Koordinatensystem übertragen, erhält man etwas, was wie eine Glockenkurve aussieht, die ihren Hochpunkt bei der Hälfte der maximalen Quersumme hat (im Beispiel: 27/2=13,5 => 13 und 14 haben die meisten Möglichkeiten).

Die Frage ist jetzt, gibt es eine Funktion, die genau diese Anzahl an Möglichkeiten wiedergibt und wenn ja, wie verändert sie sich, wenn sich der Zahlenbereich ändert? Also wenn es nicht nur 1-999 ist, sonder 1-9999 oder höher?

Meine Ideen:
Per "Hand" kann man die eigentlich relativ einfach ausrechnen, es ist nur etwas langwierig. Meine Grundidee (jetzt zur Berechnung des oben genannten Beispiels) war folgende:

Ich besitze eine Zahl abc. Deren Quersumme ist folglich a+b+c. Wenn ich nun wissen möchte, wie viele Möglichkeiten es gibt, die Zahl 13 als Quersumme zu erhalten, setze ich a=0 und somit b+c=13. Es gibt genau 6 Möglichkeiten die Zahl 13, durch Addition zweier Ziffern zu erhalten (6+7 gilt als eine Möglichkeit, 7+6 als eine andere). Also schreibe ich mir die 6 schon einmal auf. Daraufhin setze ich a=1, erhalte b+c=12, es gibt 7 Möglichkeiten für die 12 und somit schreibe ich mir die 7 auch auf und addiere sie mit der 6. Führt man das Prinzip weiter bis zu a=9 resultiert die Summe: 6+7+8+9+10+9+8+7+6+5=75.

Diesen Prozess müsste man dann für jede Zahl von 1-27 (in diesem Beispiel) durchführen.


Ich habe einmal in einer Excel-Tabelle dargestellt (Anhang), wie das ganze dann aussieht. Zwei steht dort für zweistellige Zahlen bzw. den Bereich von 1-99, drei für dreistellige Zahlen usw.

Schon jetzt Danke für die Antworten!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilung der Möglichkeiten einer Quersumme
Unter maximal -stelligen Zahlen, d.h. gibt es genau



Zahlen mit Quersumme , und das ist für alle mit anwendbar.

Beweis mit Siebformel .
 
 
janfer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilung der Möglichkeiten einer Quersumme
Perfekt, genau so etwas habe ich auch gesucht. Danke!
Huldrich Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000

Ich habe eine Weile nach einer solchen Formel gesucht und einiges selber ausprobiert. Ich nehme an, wenn ich sie auf ein beliebiges Zahlensystem erweitern möchte, muss man die 10 darin mit d ersetzen, wobei d dann eben das Zahlensystem ist. Richtig! Ich habe das mit d=7 ausprobiert, ergibt aber nicht das richtige Resultat. Ist dies deswegen, weil die führenden Nullen mitgezählt werden, wie du in einem anderen Thread sagst? Wie ist dann die Formel ohne führenden Nullen? Und kannst du mir eine Website oder Buch empfehlen, wo die Herleitung mit dem Siebsatz erklärt wird?

Vielen Dank
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huldrich
Ist dies deswegen, weil die führenden Nullen mitgezählt werden, wie du in einem anderen Thread sagst?

Es steht ja auch klar und deutlich da:

Zitat:
Original von HAL 9000
Unter maximal -stelligen Zahlen, d.h.

"Maximal" bedeutet eben "maximal" bzw. "höchstens" und ist damit etwas anderes als "genau", letzteres umfasst für ja nur die Zahlen .

Und ja, es klappt auch mit anderen Basen . die Anzahl ist dann entsprechend



Zitat:
Original von Huldrich
Wie ist dann die Formel ohne führenden Nullen?

Für "genau" -stellige Zahlen muss man ja nur die Differenz bilden zum Vorgänger, d.h. .


Zur Herleitung der Formel betrachte man folgende Mengen:

... Menge aller -Tupel nichtnegativer ganzer Zahlen mit Summe

... Menge aller -Tupel aus mit

Dann ist über die Siebformel berechenbar.
Huldrich Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal

Vielen Dank für deine Antwort. Ich komme allerdings immer noch nicht auf das gleiche Resultat. Ich weiss nicht, ob du mit Mathematica vertraut bist. Was ich suche, ist eine analytische Lösung für folgenden Algo:

f[d_, n_, q_] := Module[{c, x},
c = 0; x = 0;
Do[
If[Total[IntegerDigits[x, d + 1]] == q, c++];
x++,
{(d + 1)^n}];
Return[c]];

Für d=3 ergibt mir das folgende Matrix:



wobei n und q von 2 bis 8 iteriert werden. Wenn ich das Gleiche mit deiner Formel f[d,n,q] - f[d,n-1,q] mache, gibt mir das ein völlig anderes Resultat. Sprechen wir hier vom Gleichen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huldrich
Sprechen wir hier vom Gleichen?

Weiß ich nicht, da ich deinen Mathematica-Code nicht verstehe. Ich rede jedenfalls von Zahlen und ihren Quersummen.


Wofür steht deine erste Matrixzeile? Für und , oder aber für und ? In beiden Fällen machen die Werte keinen Sinn in Hinblick auf das Quersummenproblem. unglücklich


EDIT: Dein Code sieht so aus, als arbeitest du nicht mit Basis (mit den Ziffern ), sondern mit Basis (mit den Ziffern ). Das erklärt aber nicht allein die Differenzen.

EDIT2: Deine Matrix entspricht den Werten statt , und zwar mit statt . Also doch die maximal n-stelligen Zahlen (statt "genau") zur Basis 4. unglücklich
Huldrich Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir den Code erklären:

IntegerDigits[x, d] macht einfach eine Liste von einer gegebenen ganzen positiven Zahl in einer gegebenen Basis d, wobei x eine Zahl im Zehnersystem ist.

Beispiel: IntegerDigits[34, 10]={3,4}
Total[Liste] summiert einfach die Elemente einer Liste (in geschweiften Klammern).
Also haben wir Total[IntegerDigits[34, 10]=3+4=7, mit anderen Worten: die Quersumme.

Der Algorithmus geht einfach durch alle Zahlen von x=0 bis x=(d+1)^n und schaut, für welches x die Quersumme q ergibt. In dem Fall wird c inkrementiert und das Endresultat wird zurückgegeben (Return).

Man kann das Ganze ja auch mit n Urnen vergleichen, in die man maximal d Kugeln legen kann. Es stehen q Kugeln zur Verfügung. Wenn ich also z.B. will, dass nur d=6 Kugeln in eine Urne gehen, dann muss ich als Basis d+1=7 nehmen (in der Zehnerbasis z.B. hat eine Stelle die zehn Zahlen von 0 bis 9).

Dabei wird mir klar, dass die führenden Nullen auch mitgezählt werden. Also ist es doch nur f(d,n,q). Aber das gibt mir eben auch nicht das gleiche Resultat, obschon ein bisschen näher daran...

Ich hoffe, du kannst mir sagen, was hier falsch ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du meinen EDIT immer noch nicht gelesen? Ist doch schon eine halbe Stunde her. unglücklich

Zitat:
Original von Huldrich
Aber das gibt mir eben auch nicht das gleiche Resultat

Doch, stimmt genau überein. Arbeite einfach mal gründlich, statt hier immer schlecht geprüft negative Aussagen zu verbreiten. Forum Kloppe
Huldrich Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, war eine Weile weg... Ok, wenn ich d=3 für meinen Algo nehme und d=4 für deine Formel, stimmt es weitgehend überein. Trotzdem stimmt es nicht überall.

Deine Resultate für d=4 (n Zeilen, q Spalten):



Das erste Matrixelement ist f(4,2,2)=5 mit deiner Formel. Mein Algo gibt f(3,2,2)=3. Nach meinem Verständnis sind die möglichen Kombinationen {0,2}, {1,1} und {2,0}, also 3 und nicht 5. Oder seh ich das falsch?

Bei dir ist f(4,2,5)=0. Mein Algo gibt f(3,2,5)=2, denn die möglichen Kombinationen sind {2,3} und {3,2}.

Ebenso ist bei dir f(4,2,6)=0. Ich habe aber f(3,2,6)=1, denn es gibt eine mögliche Kombination, und zwar {3,3}.

Letztes Beispiel: Du hast f(4,3,5)=15, mein Algo gibt f(3,3,5)=12 denn es hat folgende 12 Kombinationen:

Dies sind die einzigen Fehler, die ich gesehen habe.

Hey, ich will dich nicht stressen. Ich möchte nur eine Formel finden, die 100% stimmt. Dies ist alles. Könnte es sein, dass es damit zusammenhängt, dass ich k von 0 bis Ceiling[q/d] summiere. Dies rundet auf die nächst höhere ganze Zahl.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich wohl erneut wiederholen:

Zitat:
Original von HAL 9000
Arbeite einfach mal gründlich, statt hier immer schlecht geprüft negative Aussagen zu verbreiten.

Bevor du anderen Fehler in die Schuhe schiebst, solltest du einfach mal anfangen, sauber zu arbeiten: Es ist







nach der von mir oben angegebenen Formel. Was rechnest du bloß für einen Müll zusammen? Forum Kloppe


war schon immer, ist, und bleibt auch die Abrundungsfunktion. Wenn ich die Aufrundungsfunktion gemeint hätte, dann stände dort selbstverständlich . Vielleicht versuchst du einfach mal den Beweis nachzuvollziehen und zu verstehen, dann siehst du auch wie absurd es ist, hier die Aufrundungsfunktion für die obere Summengrenze zu wählen.
Huldrich Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Abrundungsfunktion macht deine Formel in der Tat keine Fehler. Trotzdem bin ich der Ansicht, dass du dich von Anfang an im Ton verfehlt hast. Dies hat mich irritiert und wohl mein Urteilungsvermögen hinabgesetzt. Offensichtlich macht es dir Freude, Neuankömmlinge zuerst mal durch den Dreck zu ziehen und ihnen zu spüren zu geben, was für Idioten sie sind. Wer so was braucht, sollte dringend zum Psy gehen. Tatsache ist, dass man in deiner Formel f(d+1,n,q) eingeben muss, um das richtige Resultat zu erhalten und nicht f(d,n,q). Dies habe ich nicht sofort erkannt, und du auch nicht. So jetzt kannst du dich wieder künstlich aufregen. Viel Spass dabei, aber ohne mich...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch so ein Vollpfosten, der die Hilfe gern annimmt, aber währenddessen und hinterher erst recht noch die Helfer in den Dreck zieht. Deine Ausdrucksweise war von Anfang an provokativ:

Zitat:
Original von Huldrich
Bei dir ist f(4,2,5)=0. [...] Ebenso ist bei dir f(4,2,6)=0. [...] Du hast f(4,3,5)=15

Statt vernünftig auszudrücken, was tatsächlich passiert ist:

Zitat:
Ich habe mit deiner Formel f(4,2,5)=0 berechnet [usw.]

Hinterfrage einfach mal DEINE Ausdrucksweise statt hier rumzuflennen über die ach so böse Behandlung.


Zitat:
Original von Huldrich
Tatsache ist, dass man in deiner Formel f(d+1,n,q) eingeben muss, um das richtige Resultat zu erhalten und nicht f(d,n,q).

Was daran liegt, dass du Basis des Stellenwertsystems mit dem Wert der größten Ziffer in diesem Stellenwertsystems verwechselst (auch das hatte ich oben schon angemerkt, was du wegen miserablen Durchlesen nicht gemerkt hast - peinlich, dass du das jetzt hier auch noch als Ausrede benutzt). Du hattest klar und deutlich geschrieben

Zitat:
Original von Huldrich
Ich nehme an, wenn ich sie auf ein beliebiges Zahlensystem erweitern möchte, muss man die 10 darin mit d ersetzen, wobei d dann eben das Zahlensystem ist.

und genau daran habe ich mich gehalten. Wer kann denn ahnen, dass du dich auch hier (wie bei der Summe) um Eins verzählst. Wenn ich zum "Psy" muss, dann muss einer wie du, der sich stets um Eins verzählt, sich wohl wegen Dyskalkulie behandeln lassen.
Huldrich Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist definitiv ein Psycho/Soziopath. Was soll man anderes erwarten von jemanden, der sich HAL 9000 nennt, ein Computer, der verrückt spielt und die Mannschaft killen will. Wenn ich der Forumsverantwortliche wäre, würde ich dich rausschmeissen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huldrich
Wenn ich der Forumsverantwortliche wäre, würde ich dich rausschmeissen.

Pass nur auf, dass dir das nicht passiert. Man kann ja wohl klar und deutlich erkennen, wer hier als erster persönlich beleidigend geworden ist: Leute gleich zum "Psy" schicken wollen, nur weil sie einen (aus naheliegenden Gründen) nicht mit Samthandschuhen behandeln ist einfach nur Finger1
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor es hier noch unsachlicher wird, schließe ich.

Ich bitte beide Diskussionsteilnehmer, ihre Wortwahl beim nächsten Mal zu überdenken. Weder Vollpfosten noch Psychopath sind im Matheboard angemessene Ausdrucksweisen.

Viele Grüße
Steffen
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