zz. reellwertigen Stufenfunktionen bilden Teilmenge der reelen Funktionen

01.06.2014, 19:43

3lackDeath

zz. reellwertigen Stufenfunktionen bilden Teilmenge der reelen Funktionen

Bin über jeden Rat höchst erfreut.

Folgene Aufgabenstellung:

Die Menge der reellwertigen Stufenfunktionen,
d.h. der Funktionen, die nur endlich viele reelle Werte auf Teilintervallen
$\begin{eqnarray*} Ij = [aj ; bj) von \mathbb R \end{eqnarray*}$ annehmen.
Es wird also angenommen, dass es eine endliche Folge von Intervallen $\begin{eqnarray*} Ij \end{eqnarray*}$ gibt sodass
$\begin{eqnarray*} $f(x)=cj$ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb Ij \end{eqnarray*}$ gilt, für $\begin{eqnarray*} 1 \leq j \leq r \end{eqnarray*}$ , für irgendwelche reellen Werte $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ .
Man konnte auch sagen, dass dies die endlichen Linear-Kombinationen der sogenannten
box-car Funktionen sind, bzw. der Indikator-Funktionen der (halboffenen)
Intervalle $\begin{eqnarray*} Ij \end{eqnarray*}$ .
Klarerweise ist diese Menge eine Teilmenge des Vektorraums aller reellen Funktionen.
Verizieren Sie, dass dies Menge bzgl. der Addition von Funktionen abgeschlossen
ist, und klarerweise ebenso bzgl. skalarer Multiplikation, d.h. ein Teilraum
des Vektorraumes aller reellen Funktionen ist

Ich habe es also mit reelen Funktionen zu tun die nur in endlich vielen Intervallen endlich viele werte annehmen. Da hackt es schon. die Reelen Zahlen sind doch überabzählbar unendlich und eine teilmenge von den reelen zahlen ist gleichmächtig wie die selbst also wie kann eine reele funktion in einem intervall (in dem sie werte annimmt) nur endlich viele Elemente haben ?

Eine Teilmenge bzw ein Teilraum ist genau dann ein solcher wenn er bezüglich der Addition und der multiplikation mit einem skalar aus dem Körper abgeschlossen ist. wie soll das bei diesem bsp. funktionieren ? wenn ein Teilraum bezüglich der Addition abgeschlossen ist dann liegt das produkt zweier elemente wieder im teilraum also muss zu jedem element auch sein inverses in dem teilraum enthalten sein und somit auch das Nullelement. was ist wenn eine solche funktion die null nicht enthält bzw nicht als wert annimmt?

Ich bin über Anregungen jeder Art froh. Ich tappe hier wirklich im Dunkeln. Es kann sein das ich die Aufgabenstellung missinterpretiere und meine schlussfolgerungen bisher nonsense sind.

lg Niko

02.06.2014, 10:18

RavenOnJ

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RE: zz. reellwertigen Stufenfunktionen bilden Teilmenge der reelen Funktionen

Zitat:

Original von 3lackDeath
Da hackt es schon.

Das hoffe ich nicht, wäre schmerzhaft. Aber "haken" könnte es schon. Augenzwinkern

Aber tröste dich, die Unkenntnis der Schreibweise dieser Redewendung scheint ein Problem deiner Generation zu sein, wie man hier im Board schon in vielen Posts lesen konnte.

Zitat:

die Reelen Zahlen sind doch überabzählbar unendlich und eine teilmenge von den reelen zahlen ist gleichmächtig wie die selbst also wie kann eine reele funktion in einem intervall (in dem sie werte annimmt) nur endlich viele Elemente haben ?

Das "reel" scheint kein Flüchtigkeitsfehler zu sein, nach dem durchgehenden Gebrauch dieses im Deutschen nicht-existententen Wortes zu urteilen. Es heißt "reell" mit zwei El.

Darüberhinaus ist deine Aussage sachlich falsch. Es gibt in einer überabzählbaren Menge abzählbare und sogar endliche Teilmengen. Außerdem weiß ich nicht, was das Nachfolgende für eine "Schlussfolgerung" sein soll. Warum soll eine Funktion nicht nur endlich viele (oder abzählbar viele) Werte annehmen können? Was ist mit der Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R,f(x)=1 \end{eqnarray*}$ ? Da gibt es genau einen Wert, die 1. Oder was meinst du mit "Elemente"? Der Definitionsbereich der Funktionen ist ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

wenn ein Teilraum bezüglich der Addition abgeschlossen ist dann liegt das produkt zweier elemente wieder im teilraum also muss zu jedem element auch sein inverses in dem teilraum enthalten sein und somit auch das Nullelement. was ist wenn eine solche funktion die null nicht enthält bzw nicht als wert annimmt?

Wo ist hier die Rede vom Produkt zweier Funktionen?? Es geht um die Addition zweier Funktionen und die skalare Multiplikation, also die Multplikation einer Funktion mit einem reellen Wert. Es ist zu zeigen, dass der Raum der genannten Funktionen unter Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist. Dann ist er ein Untervektorraum.

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