Bildmenge einer komplexen Funktion

01.06.2014, 22:48

Inschenör

Bildmenge einer komplexen Funktion

Meine Frage:
Hi!

Gegeben ist Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)=2 z (\overline z -i) \end{eqnarray*}$ mit der Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} D=\mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Auf welche Menge wird die Menge $\begin{eqnarray*} M=\{ z| Re(z) = Im(z) \} \end{eqnarray*}$ abgebildet?

Meine Ideen:
" $\begin{eqnarray*} z| Re(z) = Im(z) \end{eqnarray*}$ " ist ja die erste Winkelhalbierende sozusagen. Aber wie komme ich auf die gesuchte Bildmenge? verwirrt

02.06.2014, 01:58

mYthos

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Setze für z = t*(1 + i), damit hat z die in der Menge M geforderte Eigenschaft des gleichen Real- und Imaginärteiles.
Dann berechne f(z) und vergleiche im Resultat wiederum den Real- und Imaginärteil.

mY+

03.06.2014, 06:40

Inschenör

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ok alles klar!

03.06.2014, 14:56

mYthos

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Zur Ergänzung bzw. Kontrolle, ich habe:

$\begin{eqnarray*} M = \{ z| \ \mathfrak{Re}(z) = - 3 \ \mathfrak{Im}(z) \} \end{eqnarray*}$

EDIT:
Die obige Zeile ist zu korigieren auf

$\begin{eqnarray*} f(M) = \{ z| \ \mathfrak{Re}(z) = \mathfrak{Im}(z)^2 - \mathfrak{Im}(z) \} \end{eqnarray*}$

mY+

03.06.2014, 16:08

Leopold

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@ mYthos

Das scheint mir nicht zu stimmen. $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ selbst wurde ja schon beschrieben. Jetzt geht es um das Bild von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ unter der Abbildung $\begin{eqnarray*} w = f(z) \end{eqnarray*}$ . Und das ist eine Parabel:

$\begin{eqnarray*} f(M) = \left\{ \, w \in \mathbb{C} \, \left| \, \operatorname{Re}(w) = \left( \operatorname{Im}(w) \right)^2 - \operatorname{Im}(w) \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

Der Scheitel befindet sich bei $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ . Die Parabel ist nach rechts geöffnet.

03.06.2014, 23:35

Inschenör

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Zitat:

Original von Leopold
Jetzt geht es um das Bild von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ unter der Abbildung $\begin{eqnarray*} w = f(z) \end{eqnarray*}$ . Und das ist eine Parabel:

$\begin{eqnarray*} f(M) = \left\{ \, w \in \mathbb{C} \, \left| \, \operatorname{Re}(w) = \left( \operatorname{Im}(w) \right)^2 - \operatorname{Im}(w) \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

Mist... da bin ich wohl auf dem Holzweg (Danke für eure Hilfe):

$\begin{eqnarray*} t+it\mapsto 2 (t+it) (t-it -i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2(t^2-it^2-it+it^2+t^2+t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =4t^2+2it+2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2t(2t+1)+2ti \end{eqnarray*}$

geschockt

03.06.2014, 23:56

mYthos

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@Leopold, Dank für die Korrektur!

Ja, erstens, anstatt M hätte ich einen anderen Buchstaben verwenden müssen, eventuell $\begin{eqnarray*} B_f \end{eqnarray*}$ für die Bildmenge f(M) der Funktion.

Zweitens hatte ich mich verrechnet (unterwegs war ein t verloren gegangen).
Mit dem o.a. Ansatz kommt daher also richtig

$\begin{eqnarray*} f(z) = 4t^2 + 2t - 2t \cdot i \end{eqnarray*}$

Daraus ist nunmehr der Zusammenhang des Real- und Imaginärteils gemäß deinem Resultat abzulesen, denn $\begin{eqnarray*} 4t^2 + 2t = (-2t)^2 - (-2t) \end{eqnarray*}$

Setzen wir

$\begin{eqnarray*} -2t = y \text{ und } 4t^2 + 2t = x \end{eqnarray*}$ ,

folgt daraus die Gleichung der Parabel

$\begin{eqnarray*} x = y^2 - y \ \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y - \frac 1 2)^2 = x + \frac 1 4 \ \text{mit} \ S(-\frac 1 4 ; \frac 1 2) \end{eqnarray*}$
_____________________________________

@Insch ..., multipliziere die Klammer noch aus, damit du den Zusammenhang besser erkennen kannst.

mY+

04.06.2014, 00:05

Inschenör

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Vielen Dank für deine Hilfe.

Achso du hast den Teil ohne $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ definiert und den Term mit $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Darf ich fragen, warum du das so machst? Ist das ein gängiger "Trick" oder Übungssache?

Dann habe ich $\begin{eqnarray*} 2t^2+2t-2ti=x+yi \end{eqnarray*}$ . Wie bist du von der Ummformuns-gleichungskette auf deine Gleichung $\begin{eqnarray*} x = y^2 - y \end{eqnarray*}$ gekommen?

04.06.2014, 00:20

mYthos

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Zunächst hast du einen Vorzeichenfehler:

Zitat:

Original von Inschenör
...
$\begin{eqnarray*} t+it\mapsto 2 (t+it) (t-it -i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2(t^2-it^2-it+it^2+t^2+t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =4t^2+2it+2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2t(2t+1)+2ti \end{eqnarray*}$
...

In der vorletzten Zeile muss .. $\begin{eqnarray*} -2ti \end{eqnarray*}$ .. stehen, die letzte Zeile muss demgemäß lauten:

$\begin{eqnarray*} =2t(2t+1)\color{red}-\color{black}2ti \end{eqnarray*}$
_________________________

Nun musst du herausfinden, wie sich der Realteil $\begin{eqnarray*} 4t^2 + 2t \end{eqnarray*}$ im Zusammenhang mit dem Imaginärteil $\begin{eqnarray*} -2t \end{eqnarray*}$ schreiben lässt,
das habe ich oben schon relativ deutlich geschrieben:

Zitat:

Original von mYthos
...
Daraus ist nunmehr der Zusammenhang des Real- und Imaginärteils gemäß deinem Resultat abzulesen, denn $\begin{eqnarray*} 4t^2 + 2t = (-2t)^2 - (-2t) \end{eqnarray*}$
...

Erkennst du das?

Zur Bezeichnung x,y:
In der komplexen Zahlenebene entspricht eben x dem Realteil und y dem Imaginärteil.
Daher wurden diese Teile mit x und y entsprechend ersetzt, um damit wieder eine (wie im Reellen) gewohnte Gleichung (der Parabel) zu erhalten.

mY+

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